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可用二元一次不等式组表示为 ．
?2x?3y?8?0??4x?y?4?0 ?x?y?1?0??7x?5y?23?0满足约束条件? x?7y?11?0??4x?y?10?0?y 分别求：
C A 例2. 已知x、y
x ⑴ z＝2x＋y ⑵ z＝4x－3y
⑶ z＝x+y的最大值、最小值？
解：在直角坐标系中作出表示不等式组的公共区域如图阴影部分． 其中A(4，1)， B(－1，－6)， C(－3，2)
(1) 作与直线2x＋y＝0平行的直线l1：2x＋y＝t，则当l1经过点A时，t取最大，l1经过点B时，t取最小． ∴zmax＝9 zmin＝－13 (2) 作与直线4x－3y＝0平行的直线l2：4x－3y＝t，则当l2过点C时，t最小，l2过点B时，t最大．
∴zmax＝14 zmin＝－18 (3) 由z＝x2＋y2，则z2
2
B 表示点(x，y)到(0，0)的距离，结合不等式组表示的区域．知点B到
原点的距离最大，当(x，y)为原点时距离为0．∴zmax＝37 zmin＝0 变式训练2：给出平面区域如下图所示，目标函数t＝ax－y， (1) 若在区域上有无穷多个点(x，y)可使目标函数t取得最小值，求此时a的值． (2) 若当且仅当x＝2，y＝345时，目标函数t取得最小值，求实数a的取值范围？ 解：(1)由t＝ax－y得y＝ax－t 要使t取得最小时的(x，y)有无穷多个， 则y＝ax－t与AC重合． 4523?0125y B(0,1) C(2 ,4 )
350 ＝－ x A(1,0) ∴a＝kAC＝?1(2)由KAC < a< KBC 得－
125< a<－
310.
例3. 某木器厂生产圆桌子和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种72立方米，第二种有56立方米，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一张圆桌需用第一种木料0.18立方
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米，第二种木料0.08立方米，可获利润6元，生产一个衣柜需用第一种木料0.09立方米，第二种0.28立方米，可获利10元，木器厂在现有木料条件下，圆桌和衣柜应各生产多少才能使所获利润最多？
解：设圆桌和衣柜的生产件数分别为x、y，所获利润为z，则：
???????0.18x?0.09y?720.08x?0.28y?56x?0y?0???????2x?y?8002x?7y?1400x?0y?0 即
则z＝6x＋10y作出可行域如图． 由?得
?2x?y?800?2x?7y?1400?x?350??y?100 (0,200) O y (0,80M (350,100x 即M(350，100) 由图可知，当直线l：6x＋10y＝0平移到经过点M(350，100)时，z＝6x＋10y最大，即当x＝350，y＝100时，，z＝6x＋10y最大． 变式训练3：某厂要生产甲种产品45个，乙种产品55个，可用原料为A、B两种规格的金属板，每张面积分别为2m和3m，用A种可造甲种产品3个和乙种产品5个，用B种可造甲、乙两种产品各6个．问A、B两种产品各取多少块可保证完成任务，且使总的用料(面积)最小．
解：设A种取x块，B种取y块，总用料为z m2，则 ?3x?6y?45??5x?6y?5522y l O A 5 15 x z＝2x＋3y (x、y∈N) 可行域如图： 最优解为A(5，5)，x＝5，y＝5时，zmin＝25，即A、B两种各取5块时可保证完成任务，且总的用料(面积)最省为25m2． 例4. 预算用2000元购买单价为50元桌子和20元的椅子，希望桌子的总数尽可能的多，但解：椅子的总数不能少于桌子的总数，但不多于桌子数的1.5倍，问桌椅各买多少才合适？ 设桌椅分别买x、y张，由题意得：
?????????x?0y?0x?yy?1.5x50x?20y?2000 由
?x?y??50x?20y?2000
200?x???7解得：??y?200?7? ∴ 点A(
2007，
2007)
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?y?1.5x由??50x?20y?2000752
?x?25解得?75??y?2?
∴ 点B(25，
)
满足以上不等式组表示的区域是以A、B、O为顶点的△AOB及内部设x＋y＝z，即y＝－x＋z；当直线过点B时，即x＝25，y＝
752，z最大．∵ y∈z，∴y＝37
∴买桌子25张，椅子37张是最优选择．
变式训练4：A1、A2两煤矿分别有煤8万吨和18万吨，需通过外运能力分别为20万吨和16万吨的B1、B2两车站外运，用汽车将煤运到车站，A1的煤运到B1、B2的运费分别为3元/吨和5元/吨，A2的煤运到B1、B2的运费分别为7元/吨和8元/吨，问如何设计调运方案可使总运费最少？ 解：设A1运到B1 x万吨，A2运到B1 y万吨，总运费为z万元，则A1运到B2(8－x)万吨，A2运到B2(18－y)万吨，z＝3x＋5(8－x)＋7y＋8(18－y) ＝184－2x－y，x、y满足???????x?y?20(8?x)?(18?y)?160?x?80?y?18y 18 l1 O A(8, 12) 10 20 x 可行域如图阴影部分． 当x＝8时，y＝12时，zmin＝156 即A1的8万吨煤全运到B1，A2运到12万吨运到B1，剩余6万吨运到B2，这时总运费最少为156万元． 1．二元一次不等式或不等式组表示的平面区域：① 直线确定边界；② 特殊点确定区域． 2．线性规划实际上是“数形结合”的数学思想的体现，是一种求最值的方法． 3．把实际问题抽象转化为数学问题是本节的重难点，求解关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解．而在考虑约束条件时，除数学概念的条件约束外，还要深入其境、考虑实际意义的约束．
4．解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的，所以作图尽可能精确，图上操作尽可能规范。但最优点不易辨别时，要逐一检查. 小结归纳
第4课时 曲线与方程
基础过关 、 1．直接法求轨迹的一般步骤：建系设标，列式表标，化简作答（除杂）．
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2．求曲线轨迹方程，常用的方法有：直接法、定义法、代入法（相关点法、转移法）、参数法、交轨法等． 典型例题
例1. 如图所示，过点P（2，4）作互相垂直的直线l1、l2.若l1交x轴于A，l2交y轴于B，求线段AB中点M的轨迹方程.? 解 ：设点M的坐标为（x,y）, ∵M是线段AB的中点，?
∴A点的坐标为（2x,0），B点的坐标为（0，2y）.? ∴PA=（2x-2，-4），PB=（-2，2y-4）.? 由已知PA·PB=0，∴-2（2x-2）-4（2y-4）=0，? 即x+2y-5=0.? ∴线段AB中点M的轨迹方程为x+2y-5=0.? 变式训练1：已知两点M（-2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足|MN||MP|+
MN·NP=0，求动点P（x，y）的轨迹方程.? 解 由题意：MN=（4，0），MP=（x+2,y）,? ?NP=（x-2,y）, ∵|MN||MP|+MN·NP=0，? ∴4?022·(x?2)2?y2+（x-2）·4+y·0=0，? 两边平方，化简得y2=-8x. 例2. 在△ABC中，A为动点，B、C为定点，B????a?,0?2??a,C?
?,0??2?且满足条件sinC-sinB=
212sinA,
则动点A的轨迹方程是 ?A.?C.
16xa22
16ya2
22 （ ）?
?216y15a16y15a22=1 (y≠0) B.D.
?216x3a=1 (x≠0)?
216xa22?2=1（y≠0）的左支??
16xa2?16y3a2=1（y≠0)的右支?
答案?D??
变式训练2：已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：（x-3）2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程.?
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解 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件，得?
|MC1|-|AC1|=|MA|，? |MC2|-|BC2|=|MB|.? 因为|MA|=|MB|，?
所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2.?
这表明动点M到两定点C2，C1的距离之差是常数2.
根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支（点M到C2的距离大，到C1的距离小），这里a=1,c=3,则b2=8,设点M的坐标为（x,y）,其轨迹方程为x2-y28=1 (x≤-1).
例3. 如图所示，已知P（4，0）是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点， 且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.? 解 设AB的中点为R，坐标为（x1，y1），Q点坐标为（x，y），? 则在Rt△ABP中， |AR|=|PR|，? 又因为R是弦AB的中点，依垂径定理有? ?Rt△OAR中，|AR|=|AO|-|OR|=36-（x又|AR|=|PR|=(x1?4)?y122222221?y12）.? ，? 21所以有（x1-4）2+y=36-（x1?y12）.? 即x21?y12-4x1-10=0.? 因为R为PQ的中点，? 所以x1=x?4221，y1=2y?02.? 代入方程x2?y12-4x1-10=0，得? ·x?42?x?4??y???????4?2??2?-10=0.? 整理得x2+y2=56.? 这就是Q点的轨迹方程.?
变式训练3：设F（1，0），M点在x轴上，P点在y轴上，且MN=2MP，PM⊥PF，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程.? 解 设M（x0，0），P（0，y0），N（x，y），? 由MN=2MP得（x-x0，y）=2（-x0，y0），?
?x0??x?x?x0??2x0?,即?∴?1.y?y?y?2y0?02?
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