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∵PM⊥PF,PM=(x0,-y0),
PF=(1,-y0),?
20∴(x0,-y0)·（1，-y0）=0,∴x0+y=0.? ∴-x+ y24=0,即y2=4x.故所求的点N的轨迹方程是y2=4x.
小结归纳
1．直接法求轨迹方程关键在于利用已知条件，找出动点满足的等量关系，这个等量关系有的可直接利用已知条件，有的需要转化后才能用． 2．回归定义是解决圆锥曲线轨迹问题的有效途径．
3．所求动点依赖于已知曲线上的动点的运动而运动，常用代入法求轨迹． 第5课时 圆的方程 基础过关 1． 圆心为C(a、b)，半径为r的圆的标准方程为_________________． 2．圆的一般方程x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D＋E－4F>0)，圆心为 ，半径r＝ ． 3．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的方程的充要条件是 ． 4．圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为_________．x2＋y2＝r2的参数方程为________________． 5．过两圆的公共点的圆系方程：设⊙C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，⊙C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，则经过两圆公共点的圆系方程为 ． 典型例题
例1. 根据下列条件，求圆的方程．
(1) 经过A(6，5)，B(0，1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上． (2) 经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长为6． 解：(1)∵AB的中垂线方程为3x＋2y－15＝0
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由??3x?2y?15?0?3x?10y?9?0 解得
?x?7 ?y??3?65∴圆心为C(7，－3)，半径r＝
故所求圆的方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65 (2)设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 将P、Q两点坐标代入得
?2D?4E?F?20??3D?E?F??102
①②
令y＝0得x＋Dx＋F＝0
由弦长|x1－x2|＝6得D2－4F＝36 ③ 解①②③可得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0 故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0 变式训练1：求过点A（2，－3），B（－2，－5），且圆心在直线x－2y－3=0上的圆的方程． 由A（2，－3），B（－2，－5），得直线AB的斜率为kAB= －5－(－3)1 = , 2－2－2线段AB的中点为（0，－4），线段AB的中垂线方程为y＋4=－2x,即y＋2x ＋4=0, 解方程组??2x?y?4?0?x?2y?3?0得??x??1?y??2 ∴圆心为（－1，－2），根据两点间的距离公式，得半径r=(2+1)2＋(－3＋2)2 =10 所求圆的方程为（x＋1)2＋(y＋2)2=10 例2. 已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.? 解 方法一 将x=3-2y,? 代入方程x2+y2+x-6y+m=0,? 得5y2-20y+12+m=0.? 设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则y1、y2满足条件：? y1+y2=4,y1y2=
12?m5.
∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0.? 而x1=3-2y1,x2=3-2y2.? ∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.? ∴m=3,此时Δ＞0,圆心坐标为????12，3?,半径??r=.?
25方法二 如图所示，设弦PQ中点为M，? ∵O1M⊥PQ，∴kOM1?2.?
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∴O1M的方程为:y-3=2??x??1??2?,?
即：y=2x+4.? 由方程组??y?2x?4?x?2y?3?0.?
解得M的坐标为（-1，2）.?
则以PQ为直径的圆可设为（x+1）+（y-2）=r.? ∵OP⊥OQ，∴点O在以PQ为直径的圆上.? ∴（0+1）2+（0-2）2=r2，即r2=5,MQ2=r2.? 在Rt△O1MQ中，O1Q2=O1M2+MQ2.?
1?∴????1???2?2222
(3-2)+5=521?(?6)?4m42? 1?∴m=3.∴半径为,圆心为???,3?.? 2?2?方法三 设过P、Q的圆系方程为? x+y+x-6y+m+?(x+2y-3)=0.? 由OP⊥OQ知，点O（0，0）在圆上.? ∴m-3?=0，即m=3?.? ∴圆的方程可化为? x2+y2+x-6y+3?+?x+2?y-3?=0? 即x2+(1+?)x+y2+2(?-3)y=0.? ∴圆心M????1??22
2
，2(3??)??2?，又圆在PQ上.? ∴-
1??2+2（3-?）-3=0， ∴?=1，∴m=3.? ∴圆心为????15?,3?，半径为22?.? 变式训练2：已知圆C：（x-1）2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (m∈R).? （1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；? （2）求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.? （1）证明 直线l可化为x+y-4+m(2x+y-7)=0,?
即不论m取什么实数，它恒过两直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点.? 两方程联立，解得交点为（3，1），? 又有（3-1）2+（1-2）2=5＜25, ∴点（3，1）在圆内部，?
∴不论m为何实数，直线l与圆恒相交.?
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（2）解 从（1）的结论和直线l过定点M（3，1）且与过此点的圆C的半径垂直时，l被圆所截的弦长|AB|最短，由垂径定理得 |AB|=2
r?CM22=225?（[3?1）?（1?2）]?45.
22此时，kt=-
1kCM,从而kt=-
12?11?3=2.?
∴l的方程为y-1=2(x-3),即2x-y=5.
例3. 知点P（x，y）是圆(x+2)2+y2=1上任意一点.?
（1）求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值；? （2）求x-2y的最大值和最小值；? （3）求y?2x?1的最大值和最小值.? 解 （1）圆心C（-2，0）到直线3x+4y+12=0的距离为? d=3?(?2)?4?0?123?422?65.? ∴P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为? d+r=+1=56115，最小值为d-r=-1=.? 5561（2）设t=x-2y, ? 则直线x-2y-t=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点.? ∴
?2?t1?222≤1.∴-5-2≤t≤55-2，? ∴tmax=5-2，tmin=-2-y?2x?1.? （3）设k=，? 则直线kx-y-k+2=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点，? ∴
?3k?2k?12≤1.∴33?43≤k≤3?43?433,? ∴kmax=
3?4，kmin=.
变式训练3：已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.? （1）求y-x的最大值和最小值；? （2）求x+y的最大值和最小值.?
解 （1）y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时
2?0?b2?3,2
2
，解得b=-2±6.
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所以y-x的最大值为-2+
6，最小值为-2-
6.
（2）x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值. 又圆心到原点的距离为（2
2
2?0）?（0?0）22=2，?
3所以x+y的最大值是（2+x2+y2的最小值是（2-33）=7+4
32
，?
）2=7-4.
例4. 设圆满足：①截y轴所得的弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在满足条件①②的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程。 解法一设圆的圆心为P（a,b),半径为r，则点P到x轴y轴的距离分别为∣b∣、∣a∣。 由题设条件知圆P截x轴所得的劣弧所对的圆心角为90°，圆P截x轴所得的弦长为2 r，故r=2b． 又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有r=a＋1,从而得2b=a＋1． 点P到直线x－2y=0的距离为d=a?2b522222
2, ∴5d2=(a－2b)2=a2＋4b2－4ab= 2a2＋2b2－4ab＋1=2(a－b)2＋1≥1 当且仅当a=b时取等号，此时，5d2=1, d取得最小值． 由a=b及2b2=a2＋1得??a?1?a??1，进而得r2=2 或??b?1?b??1所求圆的方程为（x－1)2＋(y－1)2=2或（x＋1)2＋(y＋1)2=2 解法二同解法一，得d=a?2b5，所以a－2b= ±5 d a2=4b2±45 bd＋5d2,将a2=2b2－1代入整理得2b2±45 bd＋5d2＋1=0 （※） 把（※）看成关于b的二次方程，由于方程有实数根，故△≥0即 8（5d2－1)≥0, 5d2≥1可见5d2有最小值1，从而d有最小值＋2=0, b= ±1, r2=2b2=2, a2=2b2－1=1, a= ±1 由∣a－2b∣=1知a、b同号
故所求圆的方程为（x－1)＋(y－1)=2或（x＋1)＋(y＋1)=2
变式训练4：如图，图O1和圆O2的半径都等于1，O1O2＝4，过动点P分别作圆O1和圆O2的切线PM、PN(M、N为切点)，使得PM＝轨迹方程．
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22
2
2
2
5 ，将其代入（※）式得2b2±4b5
PN，试建立平面直角坐标系，并求动点P的