1.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为侧面BCC1B1的中心．若→→→→
AE＝zAA1＋xAB＋yAD，则x＋y＋z的值为( )
A．1 C．2 [答案] C
→→→→1→1→
[解析] ∵AE＝AB＋BE＝AB＋AA1＋AD.
2211
∴x＋y＋z＝1＋＋＝2.
22
2．(2011·银川月考)若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的可能是( )
A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0) B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1) C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1) D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1) [答案] D
[解析] 欲使l∥α，应有n⊥a， ∴n·a＝0，故选D.
3．已知二面角α－l－β的大小为120°，点B、C在棱l上，A∈α，D∈β，AB⊥l，CD⊥l，AB＝2，BC＝1，CD＝3，则AD的长为( )
A.14
B.13 3
B. 23D. 4
C．22 [答案] D
D．25
→→→→→→→
[解析] 由条件知|AB|＝2，|BC|＝1，|CD|＝3，AB⊥BC，BC⊥CD，→→→→→→〈AB，CD〉＝60°，AD＝AB＋BC＋CD，
→→→→→→→→→→
2222
∴|AD|＝|AB|＋|BC|＋|CD|＋2AB·BC＋2BC·CD＋2AB·CD ＝4＋1＋9＋2×2×3×cos60° →
＝20，∴|AD|＝25.
4．(2011·宁德模拟)已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－→→
1,5)．若|a|＝3，且a分别与AB，AC垂直，则向量a为( )
A．(1,1,1)
B．(－1，－1，－1) C．(1,1,1)或(－1，－1，－1) D．(1，－1,1)或(－1,1，－1) [答案] C
→→
[解析] 设a＝(x，y，z)，由条件知AB＝(－2，－1,3)，AC＝(1，→→
－3,2)，∵a⊥AB，a⊥AC，|a|＝3，
－2x－y＋3z＝0??
∴?x－3y＋2z＝0??x2＋y2＋z2＝3
，将选项代入检验知选C.
5．平面α经过三点A(－1,0,1)、B(1,1,2)，C(2，－1,0)，则下列向量中与平面α的法向量不垂直的是( )
?1??A.2，－1，－1? ??
B．(6，－2，－2) D．(－1,1,4)
C．(4,2,2) [答案] D
→→→[解析] 设平面α的法向量为n，则n⊥AB，n⊥AC，n⊥BC，→→→→→
所有与AB(或AC、BC)平行的向量或可用AB与AC线性表示的向量都与n垂直，故选D.
6．将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若→1→1→→→
点P满足BP＝BA－BC＋BD，则|BP|2的值为( )
22
3
A. 210－2C.
4[答案] D
[解析] 由题意，翻折后AC＝AB＝BC， →1→1→→22
∴∠ABC＝60°，∴|BP|＝|BA－BC＋BD|
22
1→21→2→21→→→→→→11
＝|BA|＋|BC|＋|BD|－BA·BC－BC·BD＋BA·BD＝＋＋244244
B．2 9
D. 4
19－×1×1×cos60°－1×2cos45°＋1×2×cos45°＝. 24
7．如下图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是棱BC、DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和的值为________．
[答案] 1
[解析] 以D1为原点，直线D1A1、D1C1、D1D为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,1)，B(1,1,1)，B1(1,1,0)，
设DF＝t，CE＝k，则D1F＝1－t，∴F(0,0,1－t)，E(k,1,1)，要使B1E⊥平面ABF，易知AB⊥B1E，故只要B1E⊥AF即可，
→→
∵AF＝(－1,0，－t)，B1E＝(k－1,0,1)，
→→∴AF·B1E＝1－k－t＝0，∴k＋t＝1，即CE＋DF＝1.
8．(2011·绍兴月考)已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用向量方法求证：
(1)E、F、G、H四点共面； (2)BD∥平面EFGH. [证明]
→→→
(1)如图，EG＝EB＋BG →1→→＝EB＋(BC＋BD)
2→→→＝EB＋BF＋EH →→＝EF＋EH，
由共面向量定理知：E、F、G、H四点共面． →→→(2)∵EH＝AH－AE
1→1→1→→1→＝AD－AB＝(AD－AB)＝BD， 2222且E、H、B、D四点不共线，∴EH∥BD. 又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH， ∴BD∥平面EFGH.
1.二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝217，则该二面角的大小为( )
A．150° C．60°
B．45° D．120°