[答案] C
→→→→
[解析] 由条件知，CA·AB＝0，AB·BD＝0， →→→→CD＝CA＋AB＋ BD.
→→→→→→→→→→2222
∴|CD|＝|CA|＋|AB|＋|BD|＋2CA·AB＋2AB·BD＋2CA·BD＝→→62＋42＋82＋2×6×8cos〈CA，BD〉
→→
＝116＋96cos〈CA，BD〉＝(217)2， →→1
∴cos〈CA，BD〉＝－，
2
→→
∴〈CA，BD〉＝120°，所以二面角的大小为60°.
2.直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、E分别为AB、BB′的中点． 求证：CE⊥A′D.
→→→
[证明] 设CA＝a，CB＝b，CC′＝c， 根据题意，|a|＝|b|＝|c|， 且a·b＝b·c＝c·a＝0，
→→→→1
∴CE＝b＋c，A′D＝CD－CA′
2→→1→→
＝(CA＋CB)－(CA＋CC′) 2
→1→1→
＝－CA＋CB－CC′
2211＝－c＋b－a.
22
→→11
∴CE·A′D＝－c2＋b2＝0.
22→→
∴CE⊥A′D，即CE⊥A′D.
3．在棱长为1的正方体AC1中，O1为B1D1的中点．求证：BO1
∥平面ACD1.
[证明] 建立如下图所示的空间直角坐标系，O为AC的中点，由于正方体的棱长为1，
1111
则B(1,0,0)，O1(，，1)，D1(0,1,1)，O(，，0)．
2222→→1111
∴BO1＝(－，，1)，OD1＝(－，，1)，
2222→→
∴BO1＝OD1，∴BO1∥OD1，
又BO1?平面ACD1，OD1?平面ACD1，∴BO1∥平面ACD1. 4.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC，E、F、E1
分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点．
求证：平面C1E1F⊥平面CEF.
[证明] 以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设BC＝1，则C(0,1,0)，E(1,0,1)，C1(0,1,2)，1
F(1,1,1)，E1(1，，2)．
2
设平面C1E1F的法向量n＝(x，y，z)．
→→1
∵C1E1＝(1，－，0)，FC1＝(－1,0,1)，
2→??n·C1E1＝0∴?
→??n·FC1＝0
?x－1y＝0
，即?2
?－x＋z＝0
，
令x＝1，则y＝2，z＝1，∴n＝(1,2,1)． 设平面EFC的法向量为m＝(a，b，c)， →→
由EF＝(0,1,0)，FC＝(－1,0，－1)， →??m·EF＝0∴?
→??m·FC＝0
??b＝0
，即?.
??－a－c＝0
令a＝－1，则m＝(－1,0,1)． ∵m·n＝1×(－1)＋2×0＋1×1＝0， ∴平面C1E1F⊥平面CEF.
5.如下图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E、F、O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.
(1)设G是OC的中点，证明FG∥平面BOE； (2)证明在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE. [解析] (1)证明：
如上图，连结OP，以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O－xyz，由条件知，OA＝OC＝8，PO＝6，OB＝8，则O(0,0,0)，A(0，－8,0)，B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0,0,6)，E(0，－4,3)，F(4,0,3)，G(0,4,0)．
→→
因为OB＝(8,0,0)，OE＝(0，－4,3)， 所以平面BOE的法向量n＝(0,3,4)， →→由FG＝(－4,4，－3)，得n·FG＝0. 又直线FG不在平面BOE内， 所以FG∥平面BOE.
(2)解：设点M的坐标为(x0，y0,0)， →
则FM＝(x0－4，y0，－3)．
→
因为FM⊥平面BOE，所以FM∥n， 9
因此x0＝4，y0＝－，
49
即点M的坐标是(4，－，0)．
4
在平面直角坐标系xOy中，△AOB的内部区域可表示为不等式