x>0，??组?y<0，??x－y<8.
经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在△AOB内存在一点M，使FM⊥平面BOE.
6．(2011·海口调研)在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，E是AD的中点，F是PC的中点．
(1)求证：BE⊥平面PAD； (2)求证：EF∥平面PAB；
(3)求直线EF与平面PBE所成角的余弦值． [解析] 解法一：(1)∵E是AD中点，连接PE， ∴AB＝2，AE＝1.
BE2＝AB2＋AE2－2AB·AE·cos∠BAD ＝4＋1－2×2×1×cos60°＝3.
∴AE2＋BE2＝1＋3＝4＝AB2，∴BE⊥AE. 又平面PAD⊥平面ABCD，交线为AD， ∴BE⊥平面PAD.
(2)取PB中点为H，连接FH，AH， 1
∵AE綊BC，又∵HF是△PBC的中位线，
21
∴HF綊BC，∴AE綊HF，
2
∴AHFE是平行四边形，∴EF∥AH， 又EF?平面PAB，AH?平面PAB， ∴EF∥平面PAB.
(3)由(1)知，BC⊥BE，PE⊥BC， 又PE，BE是平面PBE内两相交直线， ∴BC⊥平面PBE，
又由(2)知，HF∥BC，∴HF⊥平面PBE， ∴∠FEH是直线EF与平面PBE所成的角， 易知BE＝PE＝3，在Rt△PEB中，
EH＝
616，∴tan∠FEH＝＝， 263
2
15. 5
∴cos∠FEH＝
15
故直线EF与平面PBE所成角的余弦值为.
5
解法二：容易证明EP，EA，EB两两垂直，建立空间直角坐标系E－xyz如图．
易求BE＝PE＝3，则E(0,0,0)，A(1,0,0)，
B(0，3，0)，C(－2，3，0)，D(－1,0,0)，P(0,0，3)， 33
因为F是PC的中点，则F(－1，，)．
22→→
(1)∵EB·EA＝0·1＋3·0＝0·0＝0， →→
∴EB⊥EA，即EB⊥EA， →→∵EB·EP＝0·0＋3·0＋0·3＝0， →→
∴EB⊥EP，即EB⊥EP，
∵EA，EP是平面PAD内的两相交直线， ∴EB⊥平面PAD.
(2)取PB中点为H，连接FH，AH，则H(0，
33，)， 22
→33
∵EF＝(－1，，)，
22
→3333
AH＝(0，，)－(1,0,0)＝(－1，，)，
2222→→
∴EF∥AH，
∵又EF?平面PAB，AH?平面PAB， ∴EF∥平面PAB.
(3)∵y轴?平面PBE，z轴?平面PBE， ∴平面PBE的法向量为n＝(1,0,0)， →33∵EF＝(－1，，)，
22
设直线EF与平面PBE所成角为θ， →|EF·n|1015
∴sinθ＝＝，∴cosθ＝，
55→
|EF||n|故直线EF与平面PBE所成角的余弦值为
15. 5