比例与比例线段
教学目标：
1.了解比例中项的概念。
2.会求已知线段的比例中项（了解与数的比例中项的区别）。 3.通过实例了解黄金分割。
4.利用黄金分割进行简单的计算和作图. 教学重点、难点：
教学重点：黄金分割的概念及其简单应用。
教学难点：例5的作图涉及到线段的倍分关系与和差关系，比较复杂，是本节教学的难点。
1．知识点与方法概述
A：比例的性质：
基本性质：如果a:b=c:d，那么ad=bc；如果ad=bc，那么a:b=c:d.
合比性质：
等比性质：如果
，那么.
B：（成）比例线段：
比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比. 那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.
设a、b、c、d为线段，如果a:b=c:d，b、c叫比例内项，a、d叫比例外项，d叫做a、b、c的第四比例项；如果a:b=b:c，或b2=ac，那么b叫a、c的比例中项.
C：黄金分割：
如图，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC)，且使
AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点. 注意：1、AC?0.618AB；2、0.618叫做黄金比；3、一条线段有两个黄金分割点.
D：平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的线段对应成比例. 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 推论的扩展：平行于三角形一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截
得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.（三角形一边平行线的性质）
推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（三角形一边平行线的判定定理）
E：平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.
根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况（如图1-图5）:
推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰. 已知：在梯形ACFD中，AD//CF，AB=BC 求证：DE=EF
推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边. 已知：在△ACF中，BE//CF，AB=BC 求证：AE=EF
F：三角形的中位线定理：
三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
已知：如图，D、E分别为AB、AC的中点
求证：DE//BC，DE?
G：梯形的中位线定理
梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半。
已知：梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别是AB、CD的中点，求证：EF//AD//BC，EF?
12(AD?BC).
12BC
2．典型例题讲解
例1：有关合分比定理的计算
①已知：3x=5y，則x:y=________，=________。
②已知：课堂练习：
，則_______，=_______。
①已知：，則=_______。
②已知：，則x+y+z=6，則x=_______，y=_______，z=______。
③已知：a:b:c=1:3:5，則=_________。
ABAMAC
④如图已知BE=ME=CE
AB?BC?CAAE求证：
BC=ME
ABAMACAB?ACAM证明：∵BE=ME=CE，∴ BE?CE=EM，
AB?ACAMAB?BC?CABCAM?ME即
BC=ME，∴
=
ME
AB?BC?CAAE即
BC=ME
本题要通过观察找出已知条件和待证结论之间的内在联系，然后灵活运用等比性质和合比性质达到证题的目的
例2：有关比例线段的计算
①如图，CE是?ABC的中线，CDcm；若CD=9cm，则AF= cm.
② 如图，?ABC中，E为BC上一点，CD平分?ACB交AE于点D，且CD?AE，DF交AB于F。若AF=2cm，则AB= cm.
课堂练习：
① 已知：如图，?ABC中，AB:BC:CA=3:2:4,AB=9cm,D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，求?DEF的周长.
?ACB的平分线，② 已知：如图，?ABC中，BD、CE分别是?ABC、AH?BD于H，AF于F，若AB=14厘米，AC=9厘米，BC=18厘米，求FH的长.
?CE//BC?12AD,EF//BD,EG//AC. 若EF=18cm，则BG=
③已知：如图，梯形ABCD中，?ABC两底的长.
例3：有关黄金分割的作图与计算
①黄金分割
??DCB?45?，AD//BC，高是h，中位线长m，求
（1）五角星是我们常见的图形.在图4-4中,度量点C到点A,B的距离 ACBC
与 相等吗？ ABAC
BCAC
点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 ＝ ，
ACAB那么称线段AB被点C黄金分割(golden section),
图4-5 点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.
问题：一条线段有几个黄金分割点？一颗五角星中有几个黄金分割点？
②求黄金比的数值，如图4－1－4 设
AP
＝x，则PB＝AB－AP＝AB－AB?x. AB
ABP图4-1-4A C B
AB－AB?xAB?x1－xPBAPx
由 ＝ ，得 ＝ ，即 ＝ APAB AB?xABx1化简，得x2＋x－1＝0.
－1＋5 －1－5 解得x1＝ ，x2＝ （不合题意，舍去）
22所以
5 －1AP ＝ ≈0.618 AB2
黄金分割的深远意义：历史上，人们视黄金分割为“最美丽”的几何比率，广泛应用于建筑和雕刻中，如古代希腊的帕特农神庙、埃及金字塔、上海东方明珠塔等，一些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618，在自然界中也有很多例子，美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.许多美丽的形状都与0.618这个比值有关。
③尺规做线段的黄金分割点：已知线段AB＝a，用直尺和圆规作出它的黄金分割点。 分析：线段a的黄金分割所得的较长线段长应是＝
5 －1
a， 2
5 15 1 a－ a，由于 a是以a和 a为直角边的斜边长 2222因此本题转化为作两条线段之差.
DEACB