雅智教育 立德树人 传道解惑 启发思维 成就英才 C．周长相等的钝角三角形都全等； D．周长相等的等腰直角三角形都全等 2．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB．下列结论中不一定成立的是（ ） A．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP
A
O P B
（第2题图）
A E
AB （第3题图）
F C
CD（第4题图）
B3．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=86，点E为AC的中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，则△CEF的面积是 .
4．如图，△ABC中，∠C =90，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD=4，则点D到AB的距离是 ．
5．如图在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC． 试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．
6．（2012泰安）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，F为BC中点，BE与DF、DC分别交于点G、H，∠ABE=∠CBE．
（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由； （2）求证：BG-GE=EA．
C2
2
2
0
E A D B
C
BFHGDEA§3.3 等腰三角形
一、知识要点
等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线、角平分线的性质定理和逆定理. 二、课前演练
1．等腰三角形的一边长为10，另一边长为5，则它的周长是 . 2．如图1，在△ABC中，AB=AC=32cm，DE是AB的垂直平分线， 分别交AB、AC于点D、E.
ADEBC(第2题图)
0雅智教育 立德树人 传道解惑 启发思维 成就英才 (1)若∠C=70，则∠CBE= °，∠BEC= °. (2)若BC=21cm，则△BCE的周长是 cm.
3. 如右图，在△ABC中，D，E分别是边AC、AB的中点， 连接BD．若BD平分∠ABC，则下列结论错误的是( ) A．BC=2BE B．∠A=∠EDA C．BC=2AD D．BD⊥AC 4．如右图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离 相等，且PA=PB．下列确定P点的方法正确的是( ) A．P为∠A、∠B两角平分线的交点
B．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点 C．P为AC、AB两边上的高的交点 D．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点
A E B CD C
(第3题图)
PA(第4题图)
B三、例题分析
例1 如图，△ABC中，AB=AC，角平分线BD、CE相交于点O. （1）OB与OC相等吗？请说明你的理由；
（2）若连接AO，并延长AO交BC于点F.你有哪些发现？请写出两条，
并就其中的一条发现写出你的发现过程. (由课本P29例2改编）
例2 (2011日照)如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点， ∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA． （1）求证：DE平分∠BDC；
（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．
ABAEOBCDEDCM 四、巩固练习
1. 在△ABC中，∠C=90，AC的垂直平分线交AB于点D，AD=2，则BD= . 2．如图1,∠A=90°,BD是△ABC的角平分线,AC=10,DC=6.则D到BC的距离为___ .
APDBC图1 图2
3．如图2，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD.有下列四个结论： (1)∠PBC=15°；(2)AD∥BC；(3)直线PC与AB垂直；(4)四边形ABCD是轴对称图形. 其中正确结论个数是（ ）
A． 1 B. 2 C. 3 D. 4
雅智教育 A 36B? 0 立德树人 传道解惑 启发思维 成就英才 4．如图，在下列三角形中，若AB=AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ）
A 45C
B? 0 A 900 C
B? (3) C B? A 1080 (4) C
(1) (2) A.(1)(2)(3) B. (1)(2)(4) C. (2)(3) (4) D. (1)(3)(4)
5．(2011乐山)如图，在直角△ABC中，∠C=90°,∠CAB的平分线AD交BC于点D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．
ACD
EB6. 如图，AD是△ABC的中线，且∠ADC=60°，BC=4. 把△ADC沿直线AD折叠后，点C落在C′的位置上，求BC′的长.
w W w x K b 1.c o M
AC'
BDC 雅智教育 立德树人 传道解惑 启发思维 成就英才 §3.4 直角三角形和勾股定理
一、 知识要点
直角三角形的性质；勾股定理和勾股定理的逆定理及其应用。 二、 课前演练
1．若直角三角形的一个锐角为20°，则另一个锐角等于__________?. 2．将一副常规的三角尺按如图1方式放置，则图中∠AOB的度数 为__ ___?.
3．在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，则该三角形为（ ）
B图1
OAA．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 4．如图2，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米 处折断,树尖B 恰好碰到地面,经测量AB=2米,则树高为（ ） A．5米 B．3米 C．(5+1)米 D．3 米
三、例题分析
例1 如图，在离水面高度为5米的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹 角为30°，此人以每秒0.5米收绳．问：
（1）未开始收绳子的时候，图中绳子BC的长度是多少米？ （2）收绳8秒后船向岸边移动了多少米?（结果保留根号）
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例2 抛物线y=-x+x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
22（1）求A、B、C三点的坐标； （2）证明:△ABC为直角三角形；
（3）在抛物线上除C点外，是否还存在另外一个点P，使△ABP是直角三角形，若存在，请求出点P的坐
标，若不存在，请说明理由．
图2
雅智教育 立德树人 传道解惑 启发思维 成就英才 四、巩固练习
1．如图，桌面上平放着一块三角板和一把直尺，小明将三角板的直角顶点紧靠直尺的边缘，他发现无论是将三角板绕直角顶点旋转，还是将三角板沿直尺平移，∠1+∠2总保持不变，那么∠1+∠2=______度．
CB3ACx4AB(第1题图) (第3题图) (第4题图)
2．已知直角三角形的两边长为3和4，则第三边的长为 ______．
3．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．12
5．小强家有一块三角形菜地，量得两边长分别为40m，50m，第三边上的高为30m，请你帮小强计算这块菜地的面积（结果保留根号）.
6．如下图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，求蚂蚁爬行的最短路径长
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