（Ⅱ）利用“错位相减法”、等比数列的通项公式即可得出． 【解答】解：（Ⅰ）由a1=2，an+1=Sn+2（n∈N*），① an=Sn﹣1+2（n≥2），②… ①﹣②，得
（n≥2）．…
又由a2=S1+2=4，得
．…
所以
（n≥1），数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，故
，③
．…
（Ⅱ）由（Ⅰ），得
2Tn=1×22+2×33+3×24+…+n×2n+1，④… ③﹣④，得所以
．…
．…
20．某化工厂拟建一个下部为圆柱，上部为半球的容器（如图，圆柱高为h，半径为r，不计厚度，单位：米），按计划容积为72π立方米，且h≥2r，假设其建造费用仅与表面积有关（圆柱底部不计），已知圆柱部分每平方米的费用为2千元，半球部分每平方米4千元，设该容器的建造费用为y千元． （Ⅰ）求y关于r的函数关系，并求其定义域； （Ⅱ）求建造费用最小时的r．
【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】（Ⅰ）利用容积为72π立方米，列出
，然后求解建造费用的函数解析式．
，得到
（Ⅱ）利用导函数，判断单调性求解最值即可． 【解答】（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由容积为72π立方米，得
，解得0＜r≤3，…
又圆柱的侧面积为半球的表面积为2πr2， 所以建造费用（Ⅱ）
又0＜r≤3，所以y'≤0，所以建造费用
，定义域为（0，3]．…
，…
，
，
．…
在定义域（0，3]上单调递减，所以当r=3时建造费用最小．…
21．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：（x+1）2+y2=
的圆心为M，圆N：（x
﹣1）2+y2=的圆心为N，一动圆C与圆M内切，与圆N外切． （Ⅰ）求动圆C的轨迹方程；
（Ⅱ）过点（1，0）的直线l与椭圆C交于A，B两点，若的方程．
【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．
【分析】（Ⅰ）设动圆P的半径为r，推出|PM|+PN|=4＞|MN|，由椭圆定义知，点P的轨迹是以M、N为焦点，焦距为2，实轴长为4的椭圆，然后求解方程． （Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，求出数量积．当直线的斜率
=﹣2，求直线l
y1）By2）存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），设A（x1，，（x2，，联立联立消去y，利用韦达定理转化求解数量积，求出斜率，即可得到直线l的方程． 【解答】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设动圆P的半径为r，则|PM|=﹣r，|PN|=r+． 两式相加，得|PM|+PN|=4＞|MN|，…
由椭圆定义知，点P的轨迹是以M、N为焦点，焦距为2，实轴长为4的椭圆， 所以椭圆C的方程是
．…
（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线l的方程为x=1， 则
，
，
，…
当直线的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1）， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立
消去y，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，
则有，，…
=
=．…
由已知，得故直线l的方程为
，解得
．…
．
22．已知函数f（x）=（x+1）2﹣alnx． （Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，+∞）内任取两个不相等的实数x1，x2，不等式
恒成立，求a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用． 【分析】（Ⅰ）求出函数的定义域，导函数，①当a≤0时，②当a＞0时，判断导
函数的符号，推出函数的单调性．
（Ⅱ）不妨令x1＞x2，则x1+1＞x2+1，x∈（0，+∞），则x+1∈（1，+∞），不等式
函数g（x）=f（x）﹣x， 利用函数的导数值求解即可．
【解答】（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）函数的定义域为x＞0，
，…
利用函数的单调性与最
，推出f（x1+1）﹣（x1+1）＞f（x2+1）﹣（x2+1），设
f'… ①当a≤0时，（x）＞0在x＞0上恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增．②当a＞0时，方程2x2+2x﹣a=0有一正根一负根，在（0，+∞）上的根为
，
所以函数f（x）在
上单调递减，在
上单调递增．
综上，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增， 当a＞0时，函数f（x）在单调递增．…
（Ⅱ）不妨令x1＞x2，则x1+1＞x2+1，x∈（0，+∞），则x+1∈（1，+∞）， 由
上单调递减，在上
f（x1+1）﹣f（x2+1）＞（x1+1）﹣（x2+1）?f（x1+1）﹣（x1+1）＞f（x2+1）﹣（x2+1）…
设函数g（x）=f（x）﹣x，
则函数g（x）=f（x）﹣x是在（1，+∞）上的增函数，所以
，…
又函数g（x）=f（x）﹣x是在（1，+∞）上的增函数，
只要在（1，+∞）上2x2+x≥a恒成立，y=2x2+x，在（1，+∞）上y＞3，所以a≤
3．…