7. （ 2014?福建泉州，第26题14分）如图，直线y=﹣x+3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P（2，1）． （1）求该反比例函数的关系式；
（2）设PC⊥y轴于点C，点A关于y轴的对称点为A′； ①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值；
②对大于1的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sin∠BMC=．
考点：反 比例函数综合题；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理；直线与圆的位置关系；锐角三角函数的定义 专题：压 轴题；探究型． 分析： 1）设反比例函数的关系式y=，然后把点P的坐标（2，1）代入即可． （（2）①先求出直线y=﹣x+3与x、y轴交点坐标，然后运用勾股定理即可求出△A′BC的周长；过点C作CD⊥AB，垂足为D，运用面积法可以求出CD长，从而求出sin∠BA′C的值． ②由于BC=2，sin∠BMC=，因此点M在以BC为弦，半径为m的⊙E上，因而点M应是⊙E与x轴的交点．然后对⊙E与x轴的位置关系进行讨论，只需运用矩形的判定与性质、勾股定理等知识就可求出满足要求的点M的坐标． 解答： （1）设反比例函数的关系式y=． 解：∵点P（2，1）在反比例函数y=的图象上， ∴k=2×1=2． ∴反比例函数的关系式y=． （2）①过点C作CD⊥AB，垂足为D，如图1所示． 当x=0时，y=0+3=3， 则点B的坐标为（0，3）．OB=3． 当y=0时，0=﹣x+3，解得x=3， 则点A的坐标为（3，0），OA=3． ∵点A关于y轴的对称点为A′， ∴OA′=OA=3． ∵PC⊥y轴，点P（2，1）， ∴OC=1，PC=2． ∴BC=2． ∵∠AOB=90°，OA′=OB=3，OC=1， ∴A′B=3，A′C=． ++2． ∴△A′BC的周长为3∵S△ABC=BC?A′O=A′B?CD， ∴BC?A′O=A′B?CD． ∴2×3=3∴CD=×CD． ． ∵CD⊥A′B， ∴sin∠BA′C===+． +2，sin∠BA′C的值为． ∴△A′BC的周长为3②当1＜m＜2时， 作经过点B、C且半径为m的⊙E， 连接CE并延长，交⊙E于点P，连接BP， 过点E作EG⊥OB，垂足为G， 过点E作EH⊥x轴，垂足为H，如图2①所示． ∵CP是⊙E的直径， ∴∠PBC=90°． ∴sin∠BPC===． ∵sin∠BMC=， ∴∠BMC=∠BPC． ∴点M在⊙E上． ∵点M在x轴上 ∴点M是⊙E与x轴的交点． ∵EG⊥BC， ∴BG=GC=1． ∴OG=2． ∵∠EHO=∠GOH=∠OGE=90°， ∴四边形OGEH是矩形． ∴EH=OG=2，EG=OH． ∵1＜m＜2， ∴EH＞EC． ∴⊙E与x轴相离． ∴x轴上不存在点M，使得sin∠BMC=． ②当m=2时，EH=EC． ∴⊙E与x轴相切． Ⅰ．切点在x轴的正半轴上时，如图2②所示． ∴点M与点H重合． ∵EG⊥OG，GC=1，EC=m， ∴EG=∴OM=OH=EG=∴点M的坐标为（=． ，0）． ． Ⅱ．切点在x轴的负半轴上时， 同理可得：点M的坐标为（﹣③当m＞2时，EH＜EC． ∴⊙E与x轴相交． Ⅰ．交点在x轴的正半轴上时， 设交点为M、M′，连接EM，如图2③所示． ∵∠EHM=90°，EM=m，EH=2， ∴MH===． ，0）． ∵EH⊥MM′， ∴MH=M′H． ∴M′H═． ∵∠EGC=90°，GC=1，EC=m， ∴EG=∴OH=EG=∴OM=OH﹣MH=∴OM′=OH+HM′=∴M（﹣=． ﹣+， ， +，0）． =． ，0）、M′（Ⅱ．交点在x轴的负半轴上时， 同理可得：M（﹣+，0）、M′（﹣﹣，0）． 综上所述：当1＜m＜2时，满足要求的点M不存在； 当m=2时，满足要求的点M的坐标为（当m＞2时，满足要求的点M的坐标为（（+，0）、（﹣+，0）和（﹣﹣，0）、（﹣，0）； ，0）、﹣，0）． 点评：本 题考查了用待定系数法求反比例函数的关系式、勾股定理、三角函数的定义、矩形的判定与性质、直线与圆的位置关系、垂径定理等知识，考查了用面积法求三角形的高，考查了通过构造辅助圆解决问题，综合性比较强，难度系数比较大．由BC=2，sin∠BMC=联想到点M在以BC为弦，半径为m的⊙E上是解决本题的关键．