的宇称。
证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为 ??2d222?dx?(x)?U(x)?(x)?E?(x)
① 将式中的x以(?x)代换，得 ??2d222?dxd22?(?x)?U(?x)?(?x)?E?(?x) ② 利用
得 ?U(?x)?U(x)，
?22?dx?(?x)?U(x)?(?x)?E?(?x) ③
比较①、③式可知，?(?x)和?(x)都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此?(?x)和?(x)之间只能相差一个常数c。方程①、③可相互进行空间反演
(x??x)而得其对方，由①经x??x反演，可得③，? ?(?x)?c?(x)
④；由③再经?x?x反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。 ? ?(x)?c?(?x) ⑤； ④乘 ⑤，得 ?(x)?(?x)?c?(x)?(?x)， 可见，c22?1，所以 c??1； 当c??1时， ?(?x)??(x)，??(x)具有偶宇称， 当c??1时， ?(?x)???(x)，??(x)具有奇宇称，
当势场满足 U(?x)?U(x)时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。
??U0?0, x?a2.7 一粒子在一维势阱中 U(x)??运动，求束缚态(0?E?U0)的能级所满足
0, x?a??的方程。
解：粒子所满足的S-方程为 ?式分区域的具体形式为 Ⅰ：??2d222?dx?(x)?U(x)?(x)?E?(x) 按势能U(x)的形
?2d222?dx?2?1(x)?U0?1(x)?E?1(x) ???x?a ①
Ⅱ：?d222?dx?2?2(x)?E?2(x) ?a?x?a ②
Ⅲ：?d222?dx?3(x)?U0?3(x)?E?3(x) a?x?? ③
整理后，得
6
??? Ⅰ： ?12?(U0?E)?2????1?0 ④ Ⅱ：. ?22? E?2?2?0 ⑤ Ⅲ：
????32?(U0?E)?22?3?0 ⑥
2?E?2 令 k1?2?(U0?E)?2 k2?2???k1?1?0 ⑦ Ⅱ：. 则 Ⅰ： ?12???k12?1?0 ⑨ ???k22?2?0 ⑧ Ⅲ：?3?2?1?Ae 各方程的解为 ?23?k1x?Bek1x?Csink2x?Dcosk2x ?Ee?k1x??Fe?k1x由波函数的有限性，有 有
?1(??)有限 ? A?0?3(?)有限 ? E?0因此
?1?Be?3?Fek1x?k1x 由波函数的连续性，
?1(?a)??2(?a),?Be
?k1a??Csink2a?Dcosk2a (10)?k2Ccosk2a?k2Dsink2a (11)?k1a?(?a),?k1Be?1?(?a)??2?k1a?2(a)??3(a),?Csink2a?Dcosk2a?Fe 整理(10)、
(12)1?(a)??3?(a),?k2Ccosk2a?k2Dsink2a??k1Fe?ka (13)?2(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得
e
?k1aB?sink2aC?cosk2aD?0?0 B?k2cosk2aC?k2sink2a D?0?0?k1ak1e?k1a 解此方程即可得出B、C、D、F，进而得
0?sink2aC?cosk2aD?eF?0?k1a0?k2cosk2aC?k2sink2aD?k1eF?0出波函数的具体形式，要方程组有非零解，必须
e
?k1a?k1asink2a?k2cosk2asink2ak2cosk2a?cosk2a?k2sink2acosk2a?k2sink2ae00?k1a?k1ak1e00?0
k1Be 7
?k2cosk2a?k2sink2a00?e?k1asink2acosk2a?e?k1a?k2cosk2a?k2sink2ak?k1a1esink2a?cosk2a0 ?ke?k1asinkcoskk1a12a2a?e??k?k?k1a2cosk2a2sink2ak1e
?e?k1a[?k?k1acos2k2?k1a
1k2e2a?k2esink2acosk2a? ?k?k1a22esink2?k1a1k2a?k2esink2acosk2a]? ?k?k1a?k1a1e[kk1asinkk2ecos21e?2acosk2a?k2a? ?k?k1a?k1a21esink2acosk2a?k2esink2a] ?e?2k1a[?2k221k2cos2k2a?k2sin2k2a?k1sin2k2a] ?e?2k1a[(k222?k1)sin2k2a?2k1k2cos2k2a] ∵
e?2k1a?0 ∴
(k222?k1)sin2k2a?2k1k2cos2k2a?0 (k222?k1)tg2k2a?2k1k2?0为所求束缚态能级所满足的方程。
方法二：接（13）式
?Csink22a?Dcosk2a?kkCcosk2a?k21kDsink2a
1sinkcoskk2k2
C2a?D2a??kCcosk2a?Dsink2a
1k1k2k2kcosk2a?sink2a1ksink2a?cosk2a1k?2kcosk2a?sink2a?(k021ksink2a?cosk2a)1?(k2coskk2k2a?sink2a)(1ksink2a?cosk2a)1?(k2kcoskk22a?sink2a)(1ksink2a?cosk2a)?01 (k2kcoskk22a?sink2a)(1ksink2a?cosk2a)?012 k22coskk22ksink2a2a?1ksink22a?k21kcosk2a?sink2acosk2a?01 (?1? k22k2)sin2k2a? 2k21kcos2k2a?01 (k222?k1)sin2k2a? 2k1k2cos2k2a?0 8
即
另一解法： (11)-(13)
?2k2Dsink2a?k1e?k1a?k1a(B?F)
(10)+(12)?2Dcosk2a?e(B?F)
(11)?(13)(10)?(12)?k2tgk2a?k1 (a)(11)+(13)
?2k2Ccosk2a??k1(F?B)e?ik1a
(12)-(10)?2Csink2a?(F?B)e?ik1a( 11 ) ? ( 13 )
? k ctgk a ? ? k
2 2 1 ( 12 ) ? ( 10 )
令 ??k2a，??k2a， 则
? tg??? (c)或? ctg???? (d)22122
?2???(k?k)?2?U0a?22 (f) 合并(a)、(b)：
tg2k2a?2k1k2k2?k122 利用tg2k2a?2tgk2a1?tgk2a2
?U0?0,x?a 2-7一粒子在一维势阱U(x)??中运动，求束缚态(0?E?U0)的能级所满足的方
0,x?a?程。
解：（最简方法-平移坐标轴法） Ⅰ：??22????U0?1?E?1 （χ≤0） Ⅱ：??1?22????E?2 （0＜χ＜2a） Ⅲ：?2??22????U0??33?E?3 （χ≥2a）
2?(U0?E)??????1?0?12??2?E?????2?0 ???2 2???2?(U0?E)?????3?0?32?? 9
222??1???k1?1?0 (1) k1?2?(U0?E)??22???k2??0 (2) k?2?E?束缚态0＜E＜U0 ??2222?2???k1??3?0 (3)3????因此
123?Ae?k1x?Be?k1x?Csink2x?Dcosk2x ?Ee?k1x?1(??)有限 ? B?0?3(?)有限 ? E?0
?Fe?k1x??1?Ae ?3k1x?k1x由波函数的连续性，有
?Fe?1(0)??2(0),?A?D (4)
?(0),?k1A?k2C (5)?1?(0)??2?(2a)??3?(2a),?k2Ccos2k2a?k2Dsin2k2a??k1Fe?2?2k1a (6)
?2(2a)??3(2a),?Csin2k2a?Dcos2k2a?Fe(7)代入(6) Csin2k2a?Dcos2k2a??得
?2k1a ( 7 )k2k1Ccos2k2a?k2k1Dsin2k2a 利用(4)、(5)，
k1k2A[(Asin2k2a?Acos2k2a??Acos2k2a?k1k2k1k2?k2k1k2k1)sin2k2a?2cos2k2a]?0k2k1Dsin2k2a?A?0?(?)sin2k2a?2cos2k2a?0两边乘上(?k1k2)即得(k2?k1)sin2k2a?2k1k2cos2k2a?022
??, x?0 ，??U0, 0?x?a，2.8分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为 U(x)?? 求束缚态的
??U1, a?x?b，?0, b?x ，?能级所满足的方程。
解：势能曲线如图示，分成四个区域求解。 定态
S-方程为
??2d222?dx?(x)?U(x)?(x)?E?(x)
10