?(2??)
2?3/2?a30??0re2?r/a0dr?e0??i?prcos? d(?cos?)
?(2??)?(2??) ?2?3/2?a03??0re2?r/a0dr?ipripre?i??prco?s0i?2?3/2?a2?30?ip30??0re?r/a0(e??e?pr)dr ??0xen?axdx?n!an?1 ?(2??)3/2?aip[(11a0?i?p)2?(11a0?i??22]p)2?12a?ip?3034ipa0?(1a02?p?22
)2?43032a0?244222a??a0(a0p??) ?(2a0?)223/2?(a0p??)8a0?2235
动量几率分布函数 ?(p)?c(p)2??(a0p??)24
3.3 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是 Jer?Je??0
Je??e? m? rsin??2n?m
证：电子的电流密度为Je??eJ??e??i?2?(?n?m??*n?m??*n?m??n?m)
?在球极坐标中为??er???r?????1??1?式中er、e?、e?为单位矢量 e??e?r??rsin???*n?m
??i?Je??eJ??e[?2????1??1?(e?e?e)?n?mr???rr??rsin??????1??1?* ? ? n?m(er?e??e?)??rr??rsin?????ie??[er(?2?*n?m
n?m]?n?m
?r?*n?m??*n?m??r???)?en?m?(??n?m1?n?mr??1?*n?m ??1?r????n?m)?e?(1rsin????*n?m?rsin??*n?m???
?n?m)] ??n?m?中的r和?部分是实数 ∴ Je??ie?2?rsin?(?im?2n?m?im?2n?m?)e?
16
??e?m?rsin??2n?m?e?
可见，Jer?Je??0 Je???e?m?rsin??2n?m
3.4 由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。 (1)求一圆周电流的磁矩。 (2)证明氢原子磁矩为
M?Mz??????????me?2?me?2?c (SI)
(CGS) 原子磁矩与角动量之比为
MLzze?? SI )?2? (? ??e?? ( C GS)??2?c这个比值称为回转磁比率。
解：(1) 一圆周电流的磁矩为
dM?iA?Je?dS?A （i为圆周电流，A为圆周所围面积）
??e?m?rsin?2?2n?mdS??(rsin?)2??e?m??rsin??2n?mdS
??e?m??rsin??2n?mdrd? (dS?rdrd?)
原
子
2n?m (2)氢的磁矩
?为
M??dM?2???0??0?e?m?2??rsin? drd?2??e?m2??2???0?0?2n?mrsin? drd?2??e?m2????00??0?n?mrsin? drd?d???2e?m2? (SI)
在CGS单位制中 M???e?m2?c原子磁矩与角动量之比为
MLzz?MLz??e2? (SI)
MLzz??e2?c (CGS)
17
3.5 一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是H?系在下列情况下的定态能量及波函数： (1) 转子绕一固定轴转动： (2) 转子绕一固定点转动：
L22I，L为角动量，求与此对应的量子体
??1L?2???d解：(1)设该固定轴沿Z轴方向，则有 L?L 哈米顿算符 HZ2I2Id?22Z222,
?与t无关，属定态问题) 其本征方程为 (H?
?2d2222Id??(?)?E?(?)
d?(?)d?22??2IE?2?(?)d?(?)d?22 令 m?2IE?2，则 ?m?(?)?0 取其解为 ?(?)?Ae2im?
(m可正可负可为零)
由波函数的单值性，应有 ?(??2?)??(?)?e∴m= 0，±1，±2，… 转子的定态能量为Em?im(??2?)?eim? 即 ei2m??1,
m?2I22 (m= 0，±1，±2，…)可见能量只能取一系列分立值，构成分立
谱。 定态波函数为 ?m?Aeim?, A为归一化常数，由归一化条件
2? 1 ? ?
0??md??A*m2?2?0d??A2? ∴ 转子的归一化波函数为
2?A?12?12??m?eim? 综上所述，除m=0外，能级是二重简并的。
?与t无关，属定态问题，其本征方??1L?2 H(2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为 H2I程为
1?2?的本征函数，E为其本征值) LY(?,?)?EY(?,?) (式中Y(?,?)设为H2I?2Y(?,?)?2IEY(?,?) 令 2IE???2，则有 L?2Y(?,?)???2Y(?,?) 此即为角动L 18
?的本征方程，其本征值为 量L2L???22??(??1)? (??0, 1, 2, ?)2 其波函数为球
2谐函数
Y?m(?,?)?N?mP?m(cos?)eim? ∴ 转子的定态能量为 E???(??1)?2I
可见，能量是分立的，且是(2??1)重简并的。 3.6 设t=0时，粒子的状态为?(x)?A[sin解
：
2kx?212coskx]求此时粒子的平均动量和平均动能。
12?(x)?A[A2kx?cskx]?A[1oi(1?c22kx)ns?12cokx] oss?A2[1?cos2kx?coskx] ?[1?12(ei2kx?e?i2kx)?12(eikx?e?ikx)]
?A2??2[ei0x?12ei2kx?12e?i2kx?12eikx?12e?ikx]?12?? 可见，动量pn的可能值
为0 2k? ?2k? k? ?k?
2k?2k?k?k? 动能的可能值为0 2???2?2?pn222222222 对应的几率?n应为
(A24 1A216 18A216 18A216 18A216)?2??
18 ( )?A?? 上述的A为归一化常数，可由归一化
22条件，得
1???nn?(A42?4?A216)?2???A22?2?? ∴ A?1/??
∴ 动量p的平均值为
p?
?npn?nA2?0?2k??p216pn2?2???2k??A21622?2???k??18k?2A2162?2???k??18A2
1622?2???0 T?2???n2??n ?0?2k????2?2???2 ?5k?8?
?Axe??x, 当x?03.7 一维运动粒子的状态是 ?(x)??
? 0, 当x?0其中??0，求： (1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的平均动量。
19
解：(1)先求归一化常数，由1??????(x)dx??2?x2??0Axe22?2?xdx ?14?32A
∴A?2?
3/2 ?(x)?2?3/2xe (x?0) ?(x)?0 (x?0)
c(p)??)???12??e?ikx?(x)dx?(12??)1/2?2?3/2????xe?(??ik)x?(x)dx?(2?31/22??[?x??ik2?3e?(??ik)x?0?1??ik????e?(??ik)xdx
?(2??)1/2x(??ik)2??(2?32??)1/21(??ip?)2
动量几率分布函数为?(p)?c(p)2?2?31(??2??p?22?)22??33221(???p)22?
(2)
?p?3?2?x??????(x)dx??i??(x)p?*???4?xe23??xddx(e??x)dx
??i?4?????i?4??(3??x(1??x)e14?2dx??i?4???3???(x??x)e?2?xdx
14?2?)?0
3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，如果粒子的状态由波函数?(x)?Ax(a?x) 描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。
解：由波函数?(x)的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。粒子能量的本征函数和本征值为
?2n?sinx, 0?x?a? ?(x)?aa? 0, x?0, x?a? En?n??2?a?2222 (n?1， 2， 3， ?) 动量的几率分布函数为?(E)?Cn2
Cn? 先
????(x)?(x)dx?把
*?a0sinn?a一
x?(x)dx
?(x)归化，20
由归一化条件，