(z)21m,100???0R21(r)R10(r)rdr???1mcos? Y00d??f?Y1m13*3**13 Y00d??f13?m0
?(z)210?,100f (z)211,100?0 (z)21?1,100?0
r2 (2)计算x的矩阵元 x?rsin?cos??
sin?(ei??e?i?)
(x)21m,100?1?2?0R21(r)R10(r)rdr??Y1msin? (e*3*i??e?i?)Y00d??12f?23?Y1m(?Y11 ?Y1?1)d? ?38?sin? ei?*16f(??m1??m?1)
Y11?? Y1?1?38?sin? e?i? Y00?14?
?0 (x)211,100?? ?(x)210,10016f (x)21?1,100?12ii?16?ef
(3)计算y的矩阵元 y?rsin?sin??
rsin?(e?i?)
(y)21m,100??2i1?0R21(r)R10(r)rdr??Y1msin?(e*3*i??e?i?) Y00d??12if?23(??m1??m?1)?1i6f(??m1??m?1)
i6i6?0 ?(y)210,100
(y)211,100?f
(y)21?1,100?f
??r2p?1s2?(2?f26算
?2?f26f?13f)?f
22(4)计 f???0R21(r)R10(r)rdr?*3256816a0
?(12a0)3/223a0?(1a0)3/2??0re4?32a0rdr?1146a0?4！?2355a?50256816a0?a0237423
f2?21593a0
2 36
A2p?1s234es?21??r2133?c4232
?4es3?c?(3?es8?3)?321593a20?2387??es?c103143(??22s? e)2?2387??es6103?c?1.91?10s9?1
??1A21?5.23?10?10s?0.52?10?9s
5.7 计算氢原子由2p态跃迁到1s态时所发出的光谱线强度。 解：J2p?1s?N2pA2p?1s???21 ?N2p?2387? esc?31063? e??2s8?4?N2p?2356??es?c82143
??21?10.2eV
2356 ?N2p??es310420c?a 若 N2p?10?9，则 J21?3.1W
5.8求线性谐振子偶极跃迁的选择定则 解
：
?Amk?rmk2?xmk2
xmk???mx?kdx*由
x?k?1?[k2?k?1?1k?12k2*?k?1] ??m?ndx??mn
xmk??[?m,k?1?k?12?m,k?1]?m?k?1时， xmk?0即选择定则为
?m?m?k??1 ?x??y??z?i 7.1.证明：??x??证：由对易关系??y??x?2i??z 及反对易关系??x?????y??x?0 ， 得??x?????z上式两边乘??z，得 ?i?yyy? ?x?x??y??z?i ?y??z?i??z2 ∵ ??z2?1 ∴ ??22?和S?的测不准关系：(?S)(?S)7.2 求在自旋态?1(Sz)中，Sxxyy2??
1??? 0??1???0??????S?(S)?S?(S)解：在Sz表象中1、x、y的矩阵表示分别为1zz?0? Sx???222?1????0?Sy???2?i?i?? 0??∴ 在
?(Sz)12态中
Sx??1Sx?1?(1 0)22???0??2?11??1?????0 ???0??0? 37
S2x0?2?1?(1 0)?????1Sx?222?1?1???0???0?2??11??1??2??? ????0??0?4?i??1????0???0 0????(?Sx)?S?Sx?22x2?24??0??? Sy??1S??(1 0 )1y?222?iS2y??02???1Sy?1?(1 0 )??222?i??i???0???0?2??i2?i??1??2??? ???0??0?4?2(?Sy)?S?Sy?22y2?24 (?Sx)(?Sy)??416
?讨论：由Sx?、Sy?的对易关系 [S4x?，Sy? 要求(?S)(?S)]?i?Szxy22??Sz422
(?Sx)(?Sy)?22?16
在?1(Sz)态中，Sz?2?2 ∴ (?Sx)(?Sy)??0??2??i22??416 可见①式符合上式的要求。
7.3.求S?x???0??2?11????及S0?y??i?的本征值和所属的本征函数。
??0??的久期方程为 解：Sx???2?2?????的本征值为 ?2?()2?0???? ∴ Sx?022??2。
设对应于本征值
?2的本征函数为 ?1/2????a1?????S??1/2 ，得 由本征方程 x1/2?2?b1???0?2??11??a1???a1??b1??a1??? ? b 1?a1
?????b?? ??b???2??b??? ?a0???1??1??1??1?2a**?1???(a,a)?1即 2a1???1由归一化条件 1/21/2，得11????a1?应于本征值
?1 ∴ a1?12 b1?12对
?2的本征函数为 ?1/21?1????1?? 2??设对应于本征值??2的本征函数为
??1/2?a2???b?2???? 由本征方程
38
?a2??Sx??1/2????1/2??b2?2**??b2???a2???a??????b???b2??a2 ?? ?2??2????a2??a2?????1即 2a2?2由归一化条件，得(a2,?a2)??1 ∴ a2?12 b2??12对应于本
征值??2的本征函数为 ??1/21?1?????1?? 2??。其相应的本征函数分别为?1?2?的本征值为?同理可求得Sy?21?1?1?1???? ???1?i???i?? 22??2????S?cos??S?cos??S?cos?本征值7.4 求自旋角动量(cos?,cos?,cos?)方向的投影Snxyz和所属的本征函数。
?有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出现？S?的平均值是多少？ 在这些本征态中，测量Szz0?的矩阵元为S????? 表象，S?解：在Snnz?2?1cos?????2?cos??icos?cos??icos??? ??cos??1???0??cos???i0?2???i???1??cos???00?2??0??cos? ?1??Sn??其相应的久期方程为
2?2cos????2(cos??icos?)??2?0 即
cos???(cos??icos?)??2?24?2cos??2?24(cos??cos?)?0
22??24?0(利用cos??cos??cos??1)? ???222?2?的本征值为?所以Sn?2。 设对
应于Sn??2的本征函数的矩阵表示为?1(Sn)???2?a??，则 ??b?cos?????2?cos??icos?cos??icos???a???a?????b?????b???a(cos??icos?)?bcos??b?cos????2???a?由归一化条件，得1??1?1?(a,b)??b???a22???**2b?cos??icos?1?cos??b
2 39
a2?cos??icos?1?cos?
2a2?1
21?cos?a2?1 取 a?1?cos?2 ，得
b?cos??icos?2(1?cos?)?1?cos??1?1(Sn)???cos??icos?2??2(1?cos?)
??(S)?n?12?????1?cos??1?cos??icos???0???22(1?cos?)??1?cos?2?0???1????
?1?2cos??icos?2(1?cos?)??12?的可能值为 可见， Szcos??cos?2(1?cos?)22?2 ??2? 相应的几率为
1?cos?2
?1?cos?2Sz??1?cos?22?1?cos?22??2cos?
同理可求得 对应于Sn?1?cos???2??的本征函数为??1(Sn)??2?cos??icos?2??2(1?cos?)? ? ?2
??? 在此态中，S?的可
z???能值为
?2 相应的几率为
1?cos?21?cos?2 Sz???2cos?
?1?R21(r)Y11(?,?)??2?的?和自旋角动量z分量S?①求轨道角动量z分量L7.5设氢的状态是 ???zz3??R21(r)Y10(?,?)???2???e?e????平均值；②求总磁矩 M??L?S
2??的 z分量的平均值（用玻尔磁矩子表示）。
解：ψ可改写成
??1?1??0?3???R21(r)Y11(?,?)??R(r)Y(?,?)2110????22?0??1?32R21(r)Y10(?,?)?(Sz)
?12R21(r)Y11(?,?)?1(Sz)?2?12 40