1??????(x)dx?a222?a0Ax(a?x)dx?Aa5222?2a0x(a?2ax?x)dxa5222?A2?0(ax?2ax3?x)dx?A(423?a5?5)?A2a530
∴
A?30an?a5 ∴
Cn??a2a0?30a5sinn?ax?x(a?x)dx
?215a3[a?xsin0axdx??a0xsin322n?an?ax]xdx]
an?n?a?215a3[?22a2n?xcosn?an?ax?x?2aa2n?33sinn?ax?axcos2x
?2an?2xsinn?3cos0 ?415n?33[1?(?1)]n ∴
?(E)?Cn2?240n?66[1?(?1)]
n2?960 3， 5， ??66，n?1， ??n?? 0，n?2, 4, 6, ????? E????(x)dx??(x)H?22a0?(x)?2p2??(x)dx
2233??a30a2205x(x?a)?[??2d2?dxx(x?a)]dx?30??a5?a0x(x?a)dx?30??a5(a2?a3)
?5??a
3.9.设氢原子处于状态?(r,?,?)?12R21(r)Y10(?,?)?32R21(r)Y1?1(?,?)
求氢原子能量、角动量平方及角动量Z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。 解：在此能量中，氢原子能量有确定值E2???es2222?n???es8?22 (n?2) 角动量平方有确
定值为L??(??1)?22?2?(??1)
2 角动量Z分量的可能值为LZ1?0LZ2???其相应的几率分别为
14，
34 其平均值为
21
LZ?14?0???34??34?
3.10一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为U(r)????, r?a;?0, r?a求粒子的能级和定态函数。
解：据题意，在r?a的区域，U(r)??，所以粒子不可能运动到这一区域，即在这区域粒子的波函数 ??0 (r?a)
由于在r?a的区域内，U(r)?0。只求角动量为零的情况，即??0，这时在各个方向发现粒子的几率是相同的。即粒子的几率分布与角度?、?无关，是各向同性的，因此，粒子的波函数只与r有关，
而与?、?无关。设为?(r)，则粒子的能量的本征方程为??21d2?rdr(r2d?dr)?E?
令 U(r)?rE?, k ?22?E?2，得
dudr22?ku?0其通解为
2 u(r)?Acoskr?Bsinkr
???(r)?Arcoskr?Brsinkr
波函数的有限性条件知， ?(0)?有限，则 A = 0 ∴ ?(r)?Brsinkr 由波函数的连续性条件，
有 ?(a)?0 ? Basinka?0
22? ∵B?0 ∴ka?n? (n?1,2,?) k?n? a ∴ En?n?22?a2
?(r)?1?Brsin?n?ar其中B为归一化，由归一化条件得
a22??0d??a2?0d??2?0?(r)rsin? dr
2?4???Bsin0n?ardr?2? aB ∴ B?12? a ∴ 归一化的波函数 ?(r)?12? a2sinn?arr
3.11. 求第3.6题中粒子位置和动量的测不准关系(?x)?(?p)
22
2??
解：
2
2 p?02
?22
2 p122?2? T?254k?
22x?????Ax[sinkx?2212coskx]dx?0 x22????Ax[sinkx?coskx]dx??
(?x)?(?p)22?(x?x)?(p?p)??
23.12.粒子处于状态 ?(x)?(12??2)1/2ixexp[p0x?] 式中?为常量。当粒子的动量平均2?4?2值，并计算测不准关系(?x)?(?p) 解
：
①
? 2x2?2222??
归
? (x2?2先把?(x)12??2???一
)2化，由归一化条件，得
1??2???12??edx??ed(x2?2) ?12??2??(12??2)1/2
∴??12? /
∴ 是归一化的?(x)?exp[ ②
动
i?p0x?量
????2x]
平
均
值
i?p0x? 2为
p??????*(?i?ddx)?dx??i??e? i?p0x? ?2x2( i??2p0?? x)ex2dx
??i?????( i?p0?? x)e ??x2dx
? ??x2 ?p0????e ??x2dx?i? ??xe??2dx?p0
? ③ (?x)?(?p)积函数）
2?2 ??x22?? x?????*x?dx?????xe ??x2dx （奇被
x????xedx??12?xe??x2????12?i?????e ??x2dx ??12?
p2???2?????*d2dx? dx???2????e? p0x??x2d2idx22?2e?p0x??x2 dx
??(??2p0?2)?i2??p0?xe?????x2dx??????xe??x2 dx
23
??(??2p0?2)?0?(???)2212??(?2??p0)22
(?x)?x?x222?12?
(?p)?p?p?(222?2??p0)?p0?222?2?
2 (?x)?(?p)22?12???2?22?14?
24.1.求在动量表象中角动量Lx的矩阵元和Lx的矩阵元。
解：
(Lx)p?p?(i??p?r?12??)3?e??i??p??r?z?zp?y)e(yp?i??p?rd?
?(12??)3?e?i??p??r?(ypz?zpy)ed? ?(12??)3?e?i??p??r?(?i?)(pz??py??py??pz)ei??p?r?d?
?(?i?)(pz??py*?p??py??pz)(12??)3?ei???（p?p?）?r?d? ?i?(py?pz?pz??py??)?(p?p?)
(Lx)p?p?2???i??p??r??2?d? (x)Lx?pi??p?r??(12??)3?e3?z?zp?y)e(yp2d??(12??)3?e??i??p??r??z?zp?y)(yp?z?zp?y)e(ypi??p?r?d?
?(12??)?e??i??p?r??z?zp?y)(i?)(py(yp??pz?pz?py)ei??p?r?d?
?(i?)(py?pz??pz??py?)(12??2)3?e)3?i??p??r??z?zp?y)e(ypi??p?r?d?
???(py2?pz?pz?py)(12???ei???（p?p?）?r?d? ???(py2??pz?pz??py??2)?(p?p?)
4.2 求能量表象中，一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。 解：基矢：
un(x)?n?sinxaa2 能量：
En?1n2??n2?a2222 对角元：
xmm??a0a2m?xsinxd?x aa222a?ucosnudu?x)?x?(sinn?acosnu?unsinnu?c 当时，m?n xmn??a0(sinm?a)dx
24
?1x?(m?n)?(m?n)??a?a0?cosx?cos?aax?dx??1?2cos(m?n)?aa?[a2ax?ax(m?n)?sin(m?n)?a]?(m?n)?2x?0 ? [a2?axn)?a?(m?n)2?2cos(m?n)ax?(m?n)?sin(m?ax]? 0???a?2?(?1)m?n?1??11???(m?n)2?(m?n)2???a4mn?2(m2?n2)2?(?1)m?n?1?p?u*?ua2?mn?m(x)pn(x)dx??i??0asinmax?ddxsinn?axdx??i2n??a2?am?0sinax?cosn?axdx??in???a?(m?n)?(m?na20?sinx?sin)?x??dx?aa? ?in?a(m?n)?a(m?n)??a??a2?cosx?(m?n)?a?(m?n)?cosax? ?0?in??a?1a2???1??(?1)m?n?1??(m?n)(m?n)?]???(?1)m?n?1?i2mn?(m2?n2)a?sinmucosnudu??cos(m?n)u?n)u2(m?n)?cos(m2(m?n)?C
4.3 求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。 2 解：定态薛定谔方程为 ?12d2??2?dp2C(p,t)?p22?C(p,t)?EC(p,t)?12d22???2dp2C(p,t)?(E?p22?)C(p,t)?0两边乘以
2??，得
?1d21dp2C(p,t)?(2E???p2???)C(p,t)?0 ?????1????2E?p?? p, ??1?????
d2d?2C(p,t)?(???2)C(p,t)?0
25
即令