[答案] D [类题通法]
使用两个原理解决问题时应注意的问题
(1)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰．
(2)当两个原理混合使用时，一般是先分类，在每类方法里再分步．
[题组训练]
1．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有( )
A．24种 C．12种
B．18种 D．6种
解析：选B 法一：(直接法)若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2＝6种不同的种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上均有3×2＝6种不同的种植方法．故不同的种植方法共有6×3＝18种．
法二：(间接法)从4种蔬菜中选出3种种在三块地上，有4×3×2＝24种方法，其中不种黄瓜有3×2×1＝6种方法，故共有不同的种植方法24－6＝18种．
2．有红、黄、蓝旗各3面，每次升一面、二面或三面在旗杆上纵向排列表示不同的信号，顺序不同则表示不同的信号，共可以组成的信号有________种．
解析：每次升1面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成3×3＝9种不同的信号；每次升3面旗可组成3×3×3＝27种不同的信号．根据分类加法计数原理，共可组成3＋9＋27＝39种不同的信号．
答案：39
排列与组合应用问题
(1)高考中往往以实际问题为背景，考查排列与组合的综合应用，同时考查分类讨论的思想方法，常以选择题、填空题形式出现，有时与概率结合考查．
(2)解决排列组合问题的关键是掌握四项基本原则
①特殊优先原则：如果问题中有特殊元素或特殊位置，优先考虑这些特殊元素或特殊位置的解题原则．
②先取后排原则：在既有取出又需要对取出的元素进行排列中，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再进行排列．
③正难则反原则：当直接求解困难时，采用间接法解决问题的原则．
④先分组后分配原则：在分配问题中如果被分配的元素多于位置，这时要先进行分组，再进行分配．
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[考点精要]
1．排列与组合的概念
名称 排列 组合
2．排列数与组合数的概念
名称 排列数 组合数
3．排列数与组合数公式 (1)排列数公式
①Amn＝n(n－1)…(n－m＋1)＝(2)组合数公式
n?n－1??n－2?…?n－m＋1?n！Amnm
Cn＝m＝＝．
Amm！m！?n－m?！4．组合数的性质
n
(1)Cmn＝Cn
－m
定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列 合成一组 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同 排列的个数 组合的个数 n！
；②An． n＝n！?n－m?！
m1m
；(2)Cn＋Cm＝Cn＋1． n
－
[典例] (1)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( ) A．3×3! C．(3！)4
B．3×(3！)3 D．9!
(2)(重庆高考)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )
A．72 C．144
B．120 D．168
(3)从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两同学中至多有一个人参加，则不同选法的种数为( )
A．9 C．12
B．14 D．15
[解析] (1)把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种．
3
(2)依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为A33A4＝144，其中3个歌舞类节23
目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为A22A2A3＝24，因此满足题意的排法种数为144
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－24＝120，选B．
(3)法一：(直接法)分两类，第一类张、王两同学都不参加，有C44种选法；第二类张、王两同
1313
学中只有1人参加，有C2C4种选法．故共有C44＋C2C4＝9种选法．
4
法二：(间接法)C6－C24＝9种．
[答案] (1)C (2)B (3)A [类题通法]
排列与组合综合问题的常见类型及解题策略
(1)相邻问题捆绑法．在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排好之后，再考虑它们“内部”的排列．
(2)相间问题插空法．先把一般元素排好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同等作用．
(3)特殊元素(位置)优先安排法．优先考虑问题中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置．
[题组训练]
1．有5盆各不相同的菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花的不同摆放种数是( )
A．12 C．36
B．24 D．48
解析：选B 2盆黄菊花捆绑作为一个元素与一盆红菊花排列，2盆白菊花采用插空法，所
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以这5盆花的不同摆放共有A22A2A3＝24种．
2．某班准备从含甲、乙的7名男生中选取4人参加4×100米接力赛，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们在赛道上顺序不能相邻，那么不同的排法种数为( )
A．720 C．600
B．520 D．360
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解析：选C 根据题意，分2种情况讨论．①只有甲乙其中一人参加，有C12C5A4＝480种情242232
况；②若甲乙两人都参加，有C22C5A4＝240种情况，其中甲乙相邻的有C2C5A3A2＝120种情况，
不同的排法种数为480＋240－120＝600种，故选C．
二项式定理及应用
(1)求二项展开式中的项或项的系数是高考的热点，通常以选择题、填空题形式考查，难度中低档．
(2)解决此类问题常遵循“知四求一”的原则
在二项式的通项公式中共含有a, b，n，k，Tk＋1这五个元素，只要知道其中的4个元素，便可求第5个元素的值，在有关二项式定理的问题中，常常会遇到这样的问题：知道这5个元素中
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的若干个(或它们之间的关系)，求另外几个元素． 这类问题一般是利用通项公式，把问题归结为解方程(组)或不等式(组)． 这里要注意n为正整数，k为自然数，且k≤n．
[考点精要]
1．二项式定理 二项式定理 二项式系数 二项式通项 2．二项式系数的性质
n1n1(a＋b)n＝C0b＋…＋ na＋Cna－nkkn*Ckb＋…＋Cnnanb(n∈N) －二项展开式中各项系数Crn(r＝0,1，…，n) nrrTr＋1＝Crb，它表示第r＋1项 na－
[典例] (1)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝( ) A．－4 C．－2
B．－3 D．－1
＋1
(2)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m
数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝( )
A．5 C．7
B．6 D．8
展开式的二项式系
(3)若(1－2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a1＋a2＋a3＋a4＝________．
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[解析] (1)展开式中含x2的系数为C25＋aC5＝5，解得a＝－1，故选D． m(2)由题意得：a＝Cm2m，b＝C2m＋1， mm所以13C2m＝7C2m＋1，
∴∴
13·?2m?！7·?2m＋1?！
＝，
m！·m！m！·?m＋1?！
7?2m＋1?
＝13，解得m＝6，经检验为原方程的解，选B．
m＋1
(3)令x＝1可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1，令x＝0，可得a0＝1，所以a1＋a2＋a3＋a4＝0． [答案] (1)D (2)B (3)0
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[类题通法]
求二项式展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项．可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可． (2)已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数．
(3)与二项式各项系数的和有关的问题一般用赋值法求解．
[题组训练]
1．在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为( ) A．30 C．15
B．20 D．10
解析：选C 只需求(1＋x)6的展开式中含x2项的系数即可，而含x2项的系数为C26＝15，故选C．
2．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为( ) A．9 C．6
B．8 D．5
解析：选B 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，∴a0＋a2＋a4＝8．
?3?1．设二项式?3x＋?n的展开式各项系数的和为a，所有二项式系数的和为b，若a＋2b＝80，
x
?
?
则n的值为( )
A．8 C．3
B．4 D．2
解析：选C 由题意a＝4n，b＝2n，∵a＋2b＝80， ∴4n＋2×2n－80＝0，
即(2n)2＋2×2n－80＝0，解得n＝3．
2．教室里有6盏灯，由3个开关控制，每个开关控制2盏灯，则不同的照明方法有( ) A．63种 C．8种
B．31种 D．7种
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解析：选D 由题意知，可以开2盏、4盏、6盏灯照明，不同方法有C1 3＋C3＋C3＝7(种)．
3．分配4名水暖工去3户不同的居民家里检查暖气管道．要求4名水暖工都分配出去，且每户居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有( )
A．A34种
3C．C24A3种
1
B．A33A3种 13 D．C14C3A3种
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