P(A·B·C)＋P(A·B·C)＋P(A·B·C)
＝P(A)·P(B)·P(C)＋P(A)·P(B)·P(C)＋P(A)·P(B)·P(C) 42313312747＝××＋××＋××＝． 551055105510250(2)至多有两人当选的概率为1－P(ABC) 43783
＝1－P(A)·P(B)·P(C)＝1－××＝．
5510125[类题通法]
求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题
(1)“P(AB)＝P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具．
(2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系． (3)公式“P(A＋B)＝1－P(AB) ”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率．
[题组训练]
1．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是________．
155
解析：用间接法考虑，事件A，B一个都不发生的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝，
2612则事件A，B中至少有一件发生的概率 P＝1－P(AB)＝答案：
7 12
7． 12
2．在一次抗洪抢险中，准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐，已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命2中的概率都是．
3
(1)求油罐被引爆的概率；
(2)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ不小于4的概率．
解：(1)油罐引爆的对立事件为油罐没有引爆，没有引爆的可能情况是：射击5次只击中一次或一次也没有击中，故该事件的概率为：
2?1?4?1?5
P＝C1·＋， 5·3?3??3?所以所求的概率为
12?1?4?1?5?＝232． C5··＋1－P＝1－??3?3??3??243
26
(2)当ξ＝4时记事件A， 2?1?224则P(A)＝C1． 3··3·＝3??327
当ξ＝5时，意味着前4次射击只击中一次或一次也未击中，记为事件B． 2?1?3?1?41则P(B)＝C14··3＋3＝， 3????9所以所求概率为： P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝
417＋＝． 27927
离散型随机变量的期望与方差
(1)离散型随机变量的期望和方差是随机变量中两种最重要的特征数，它们反映了随机变量取值的平均值及其稳定性，是高考的一个热点问题，多与概率统计结合考查，难度中高档．
(2)期望与方差在实际优化问题中有大量的应用，关键要将实际问题数学化，然后求出它们的概率分布列，同时，要注意运用两点分布、二项分布等特殊分布的期望、方差公式以及期望与方差的线性性质，如E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)．
[考点精要]
(1)求离散型随机变量的期望与方差，一般先列出分布列，再按期望与方差的计算公式计算． (2)要熟记特殊分布的期望与方差公式(如两点分布、二项分布、超几何分布)． (3)注意期望与方差的性质．
(4)实际应用问题，要注意分析实际问题用哪种数学模型来表达．
[典例] (全国乙卷)某公司计划购买2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200 元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500 元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2 台机器的同时购买的易损零件数．
(1)求X的分布列；
(2)若要求P(X≤n)≥0．5，确定n的最小值；
(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪
27
个？
[解] (1)由柱状图及以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0．2,0．4,0．2,0．2．
从而P(X＝16)＝0．2×0．2＝0．04； P(X＝17)＝2×0．2×0．4＝0．16；
P(X＝18)＝2×0．2×0．2＋0．4×0．4＝0．24； P(X＝19)＝2×0．2×0．2＋2×0．4×0．2＝0．24； P(X＝20)＝2×0．2×0．4＋0．2×0．2＝0．2； P(X＝21)＝2×0．2×0．2＝0．08； P(X＝22)＝0．2×0．2＝0．04． 所以X的分布列为
X P
(2)由(1)知P(X≤18)＝0．44，P(X≤19)＝0．68， 故n的最小值为19．
(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)． 当n＝19时，
E(Y)＝19×200×0．68＋(19×200＋500)×0．2＋(19×200＋2×500)×0．08＋(19×200＋3×500)×0．04＝4 040；
当n＝20时，
E(Y)＝20×200×0．88＋(20×200＋500)×0．08＋(20×200＋2×500)×0．04＝4 080． 可知当n＝19时所需费用的期望值小于当n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19． [类题通法]
求离散型随机变量X的期望与方差的步骤
(1)理解X的意义，写出X可能的全部取值； (2)求X取每个值的概率或求出函数P(X＝k)； (3)写出X的分布列；
(4)由分布列和期望的定义求出E(X)；
(5)由方差的定义， 求D(X), 若X～B(n，p), 则可直接利用公式求，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
[题组训练]
1．一袋中装有分别标记着1,2,3数字的3个小球，每次从袋中取出一个球(每只小球被取到的可能性相同)，现连续取3次球，若每次取出一个球后放回袋中，记3次取出的球中标号最小的数
28
16 17 18 19 20 21 22 0．04 0．16 0．24 0．24 0．2 0．08 0．04 字与最大的数字分别为X，Y，设ξ＝Y－X，则E(ξ)＝________．
解析：由题意知ξ的取值为0,1,2，ξ＝0，表示X＝Y，ξ＝1表示X＝1，Y＝2或X＝2，Y＝3；2×2×3431
ξ＝2表示X＝1，Y＝3． ∴P(ξ＝0)＝3＝，P(ξ＝1)＝＝，
39339
2×3＋A3414443
P(ξ＝2)＝＝，∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝． 33999934
答案：
3
2．一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各面分别刻有1,2,2,3,3,3六个数字)．
(1)设随机变量η表示一次掷得的点数和，求η的分布列．
(2)若连续投掷10次，设随机变量ξ表示一次掷得的点数和大于5的次数，求E(ξ)，D(ξ)． 解：(1)由已知，随机变量η的取值为：2,3,4,5,6． 投掷一次正方体骰子所得点数为X，则 111
P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，
632111
即P(η＝2)＝×＝，
6636111
P(η＝3)＝2××＝，
63911115P(η＝4)＝2××＋×＝，
623318111
P(η＝5)＝2××＝，
323111P(η＝6)＝×＝．
224故η的分布列为
P η 2 1 363 1 94 5 185 1 36 1 41
(2)由已知，满足条件的一次投掷的点数和取值为6，设其发生的概率为p，由(1)知，p＝，
4110，?， 因为随机变量ξ～B?4??
151315
所以E(ξ)＝np＝10×＝，D(ξ)＝np(1－p)＝10××＝．
42448
正态分布
(1)高考主要以选择、填空题形式考查正态曲线的形状特征与性质，在大题中主要以条件或一
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问呈现，难度中档．
(2)注意数形结合．由于正态分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题．
[考点精要]
正态变量在三个特殊区间内取值的概率
(1)P(μ－σ [典例] 已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ＞2)＝0．023，则P(－2≤ξ≤2)＝( ) A．0．447 C．0．954 B．0．628 D．0．977 [解析] ∵随机变量ξ服从标准正态分布N(0，σ2)， ∴正态曲线关于x＝0对称．又P(ξ＞2)＝0．023， ∴P(ξ＜－2)＝0．023．∴P(－2≤ξ≤2)＝1－2×0．023＝0．954． [答案] C [类题通法] 根据正态曲线的对称性求解概率的三个关键点 (1)正态曲线与x轴围成的图形面积为1； (2)正态曲线关于直线x＝μ对称，则正态曲线在对称轴x＝μ的左右两侧与x轴围成的面积都为0．5； (3)可以利用等式P(X≥μ＋c)＝P(X≤μ－c)(c＞0)对目标概率进行转化求解． [题组训练] 1．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，P(ξ>1)＝p，则P(－1<ξ<0)等于( ) 1A．p 2 1 C．1－2p D．－p 2 解析：选D 由于随机变量服从正态分布N(0,1)，由标准正态分布图象可得P(－1<ξ<1)＝111 －2P(ξ>1)＝1－2p． 故P(－1<ξ<0)＝P(－1<ξ<1)＝－p． 22 2．已知X～N(μ，σ2)，且P(X＞0)＋P(X≥－4)＝1，则μ＝________． 解析：∵P(X＞0)＋P(X≥－4)＝1，又∵P(X＜－4)＋P(X≥－4)＝1，∴P(X＞0)＝P(X＜－4)，又0与－4关于x＝－2对称，∴曲线关于x＝－2对称，即μ＝－2． 答案：－2 30 B．1－p