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中文摘要?????????????????????????????????01 英文摘要?????????????????????????????????02 引 言?????????????????????????????????03 基本定义?????????????????????????????????04 群 ?????????????????????????????????05 环 ?????????????????????????????????08 模 ?????????????????????????????????11 半 群?????????????????????????????????15 参考文献?????????????????????????????????19 致 谢?????????????????????????????????20
同余与子结构
中文摘要
本文讨论了群上的同余与正规子群之间、环上的同余与理想之间、模上的同余与子模之间的一一对应关系. 但是对于半群, 所有理想都能对应到相应的同余, 相反却不成立. 本文构造了一个交换幺半群, 得到了泛半群上同余与理想之间不一定存在一一对应的结论.
关键词: 半群, 群, 环, 模, 同余, 子结构，双射
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同余与子结构
ABSTRACT
In this paper, we study the relationships between congruences and normal subgroups on a group, congruences and ideals on a ring, congruences and submodules on a module. For a semigroup, we could just prove that an idea is corresponding to a congruence, however on the contrary it’s not ture. In this paper, we construct a commtative monoid and prove that there is no bijective mapping between the set of all congruences and the set of all ideals of this monoid.
Keyword: semigroup, group, ring, module, congruence, substructure, bijection function
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同余与子结构
一、引言
同余作为代数系统上保持所有运算的等价关系, 在每一个代数系统的研究中都占据着重要的地位. 而本文研究的主要是群、环、模、半群等代数系统上的同余与子结构的关系. 涉及到的内容主要有以下几点 :
1．关于群, 本文主要参考文献[1]及文献[4], 详细研究了群的正规子群, 同余关系及关于同余生成的商群等, 并仿照文献[4]中已有结论得到本文定理3.4, 即可以根据给定的一个正规子群, 构造出一个相应的同余 ; 相反可以根据给定的一个同余, 构造出一个正规子群. 这样便初步得到群上的同余与正规子群之间的对应关系, 而进一步地通过定理3.5补充证明群上的同余与正规子群之间存在一一对应的关系.
2．关于环, 总体思路与群上的类似. 环的特殊子结构是理想, 所以本章着重讨论环上的同余与理想的关系. 仿照定理3.4, 给出并证明了定理4.5, 表明在环上可以根据给定的任意一个理想构造出相应的一个同余 ; 相反可以根据给定的一个同余, 构造出一个理想. 而通过定理4.6进一步补充证明了环上的同余与理想之间存在一一对应的关系.
3．关于模, 由于模本身与环非常类似, 所以仿照定理4.5, 我们给出定理5.6, 凭此证明了在模上可以根据给定的任意一个子模而构造出一个相应的同余 ; 相反可以根据给定的一个同余, 构造出一个子模. 而通过定理5.7进一步补充证明了模上的同余与子模之间存在一一对应的关系.
4．关于半群, 通过定理6.4, 我们证明了半群上任意给定一个理想, 都可以构造出一个与之对应的同余 ; 而命题6.5则证明了交换幺半群上只要给出一个子半群, 便可以构造出一个同余 ; 并在此基础上, 本文构造出一个交换幺半群, 且根据该半群的一个子半群构造出的同余, 是无法找出任何理想与之对应. 并进一步探究发现, 该半群所有同余与理想分别组成的集合具有不同的阶. 通过此反例反驳了半群上同余与理想之间存在一一对应的关系.
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同余与子结构
二、基本定义
等价关系是集合上一类重要的二元关系. 定义如下:
定义2.1[1] 设A为一个集合, ?是A?A的一个子集, 若?满足: （1）自反性: 对任意a?A, 有(a,a)??;
（2）对称性: 对任意a,b?A, 若(a,b)??, 则(b,a)??;
（3）传递性: 对任意a,b,c?A, 若(a,b)??且(b,c)??, 则(a,c)??. 则称?是集合A的一个等价关系[1].
若集合中的元素定义了运算（本文只讨论二元运算）, 并且满足某些运算规律, 就做成了一个代数. 而同余就是代数上保持所有运算的等价关系.
本文讨论具有有限多个二元运算的代数系统, 设(A,?i)是一个代数, 其中“?i”是A上一个二元运算, i?1,2,?,n, ?是A?A的一个非空子集合, 称?是A上的一个同余，若
（1）?是A上的一个等价关系, （2）对任意的a,b,a?,b??A,
(a,b),(a?,b?)???(a?ia?,b?ib?)??(i?1,2,?,n).
我们也把（2）称为?关于运算“?i”(i?1,2,?,n)是相容的.
在各种代数系统中, 同余往往会跟某种特殊的代数子结构一一对应, 下面我们将分别讨论群、环、模、半群等代数系统中同余及其子结构的关系.
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