同余与子结构
六、半群上的同余及其子结构
群、环、模上的同余都会与某种特殊的子结构一一对应，那么在更泛的代数如半群中，这种类似的结论是否也成立呢？ 前面都是讨论特殊的子结构, 所以这一章我们只讨论半群上的同余及理想之间的关系.
定义6.1[4] S是一个非空集合, “﹒”是S上的一个二元运算, 若满足 （1）?a,b?S,a?b?S;（封闭性）
（2）?a,b,c?S,(a?b)?c?a?(b?c).（结合律） 则称S关于“﹒”构成一个半群, 记为(S,?).
定义6.2[4] 设(S,?)为一半群, A为S的一个非空子集, 若A关于“﹒”封闭, 则称A为S的一个子半群.
定义6.3[4] 设(S,?)为一半群, 称S上的一个非空集合I为S的一个左（右）理想, 若
SI?I（IS?I）; 若I既是左理想, 又是右理想, 则称I是S的一个理想.
对于半群上同余及其子结构的关系, 我们有以下结论:
定理6.4 设S为一个半群, 若I是S的一个理想, 则?I?(I?I)?1S是S的一个同余. 证明: （1）首先证?I?(I?I)?1S是一个等价关系:
a. 自反性: 由于1S??I, 满足自反性;
b. 对称性: 若(a,b)??I,a,b?S, 那么若(a,b)?1S, 显然(b,a)?1S??I; 若
(a,b)?I?I, 则a,b?I, 所以(b,a)?I?I??I;
c. 传递性: (a,b),(b,c)??I,a,b,c?S, 假设(a,c)??I, 则a?b?c, 所以由
(a,b)?I?I得a,b?I, 由(b,c)?I?I得b,c?I, 所以(a,c)?I?I??I（矛盾）, 所以
(a,c)??I.
因此?I?(I?I)?1S是S的一个等价关系; （2）下面证明?I的相容性:
设(a,b),(c,d)??I,a,b,c,d?S,
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a. 若(a,b),(c,d)都不属于I?I, 即a?b,c?d, 则ac?bd, 显然:
(ac,bd)?1S??I.
b. 若(a,b),(c,d)至少有一个属于I?I, 不妨设(a,b)?I?I, 由于I是一个理想, 所以ac,bd,ca,db?I, 即
(ac,bd),(ca,db)?I?I??I.
所以?I是半群S的一个同余. □ 由定理6.4可知, 在半群上, 一个理想对应着一个同余; 但是反过来, 结论却不一定成立, 即一个同余可能找不到一个理想与其对应.
我们先来看看下面一个命题:
命题6.5 设S是一个交换幺半群, A为S的一个子半群, 令
?A?{(a,b)|a,b?S,?s1,s2?A,使得as1?bs2}.
则?A为S上的一个同余关系.
证明: （1）首先证?A是一个等价关系:
a. 自反性: 由?A定义显然满足; b. 对称性: 由?A定义显然满足;
c. 传递性: 设(a,b),(b,c)??A,a,b,c?S, ?s1,s2,s3,s4,?A,使得as1?bs2,
bs3?cs4.
而由于S是一个交换半群, 有a(s1s3)?(bs2)s3?(bs3)s2?c(s4s2), 且由A为S的
一个子半群得, s1s3,s4s2?A, 即(a,c)??A.
因此?A?{(a,b)|a,b?S,?s1,s2?A,使得as1?bs2}是S的一个等价关系;
（2）下面证明?A的相容性:
设?a,b,c,d?S, 若(a,b),(c,d)??A,则?s1,s2,s3,s4,?A,使得
as1?bs2, cs3?ds4.
由于S是一个交换半群, 因此有
(ac)(s1s3)?(as1)(cs3)?(bs2)(ds4)?(bd)(s2s4),
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由于A为S的一个子半群, 所以s1s3,s2s4?A, 即(ac,bd)??A.因此?I是半群S的一个同余. □
由命题6.5可知, 给定半群的一个子半群, 我们就可以构造出一个同余. 那么我们来看看下面一个例子.
例6.6 令S?{e,a,b}; 定义S上一个乘法运算“﹒”, 其乘法表如下:
﹒ e a b e e a b a a b a b b a b 则有:
（1）从乘法表显然可得S关于“﹒”封闭且交换; （2）下面只须证: ?a,b,c?S,(ab)c?a(bc).
首先, 若a,b,c中至少有一个是单位e, 显然满足上述等式; 那么我们只须考虑全部元素都不是单位的情况, 则有以下两种:
a. a?b?c, 显然(ab)c?a(bc)成立;
b. a,b,c中有两个相等, 若a?b且(ab)c?a(bc), 则(ca)b?b(ca)?a(bc)?(ab)c
?c(ab).
而若a?c, 则(ab)c?(ab)a?a(ba)?a(bc). 所以只须验证以下两条:
①(aa)b?bb?b?aa?a(ab); ②(bb)a?ba?a?ba?b(ba);
因此S关于“﹒”构成一个有幺的交换半群.
注意到S的子集A?{e,b}关于“﹒”封闭, 根据定义6.2, A为S的一个子半群. 由命题6.5可得:
?A?{(a,b)|a,b?S,?s1,s2?{e,b},使得as1?bs2};
为S的一个同余.
那么我们不难推得:
S/?A?{{e,b},{a}}.
显然, 无论是{e,b}还是{a}, 都不是S的理想.
由例6.6可知, 不与群、环、模等代数系统相同, 幺半群上的同余所确定商集中, 单位
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元所在的集合不一定是理想. 而要反驳半群上所有同余与所有理想分别组成的集合之间, 不存在一一对应的关系, 我们仍须对例6.6再进行深入分析.
下面我们令?1 、?2分别表示例6.6的所有理想组成的集合和所有同余组成的集合. 我们看看?1 、?2中的元素分别有哪些:
（1）于S?S?{(e,e),(a,a),(b,b),(e,a),(a,e),(e,b),(b,e),(a,b),(b,a)};而所有等价关系无非是S?S的子集且满足定义1.1, 因此只有以下五个:
?1?{(e,e),(a,a),(b,b)};
?2?{(e,e),(a,a),(b,b),(e,a),(a,e)}; ?3?{(e,e),(a,a),(b,b),(e,b),(b,e)};
?4?{(e,e),(a,a),(b,b),(a,b),(b,a)};
?5?{(e,e),(a,a),(b,b),(e,a),(a,e),(e,b),(b,e),(a,b),(b,a)};
在上面的等价关系中, 显然, 除了?2不满足运算的相容性之外, 其它等价关系均满足, 所以例6.6上的所有同余只有四个: ?1、?3、?4、?5. 即
?1?{?1,?3,?4,?5};
（2）由于例6.6只有3个元素, 则其子集共有23?8个, 分别是:
{e},{a},{b},{e,a},{e,b},{a,b},{e,a,b},?,
其中是子半群的只有:
{e},{b},{e,b},{a,b},{e,a,b},
而在上面的子半群中, 是理想的却只有以下三个;
{e},{a,b},{e,a,b},
即
?2?{{e},{a,b},{e,a,b}}.
由于??|?1|?|?2|, 所以?1与?2之间不可能存在双射. 因此, 通过例6.6我们可以知道半群上同余与理想之间不一定存在一一对应的关系.
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参考文献
[1]. 刘绍学. 专著. 近世代数基础[M]. 高等教育出版社. 2010.
[2]. 黄清兰. 期刊. 浅谈代数中的同余关系[J]. 萍乡高等专科学校学报. 2003. 第4期. [3]. 谢敏瑜. 右对称代数上的同余[D]. 华南师范大学. 数学科学学院. 2006. [4]. John M.Howie. 专著. Fundamentals of Semigroup theory[M].
[5]. Mati Kilp, Ulrich Knauer, Alexander V.Mikhalev. 专著. Monoids, Acts and Categories[M]. [6]. 伍秀华, 李庆国. 期刊. 群上同余[J]. 湖南大学数学与计量经济学院. 数学理论与应用. 第24卷第2期. 2004.
[7]. 吴双全, 刘霞. 期刊. 代数中的同余关系以及同构在代数中的应用[J]. 呼伦贝尔学院学报. 第18卷第1期. 2010.
[8]. 贺昌亭, 张同君. 专著. 模论讲义[M]. 东北师范大学出版社. 1987.
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致 谢
本文是在我的导师张霞老师的悉心指导和关怀下完成的. 张老师实事求是、严谨的治学态度、渊博的学识以及对科研孜孜不倦的追求态度，给我留下了极其深刻的印象，令我终生受益. 值此论文完成之际，谨向张老师表示最诚挚的感谢！
另外我仍需感谢还有江敏师兄，没有师兄的帮助，我将少了很多启发. 借此机会也向所有关心我、支持我的师兄师姐及亲朋好友，献上最真诚的谢意！
最后，还要再感谢数学科学学院四年来教导过我、帮助过我的所有老师，是你们造就了我的今天，感谢你们的辛勤耕耘及默默付出.
黄亿生 2010年4月
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