同余与子结构
证明: 首先我们定义:
(1)
?1:?1??2I??I,?I??1;
(2)
?2:?2??1????,????2;
显然, 由定理4.5可知, ?1,?2 是良好定义的. 则要证?1与?2之间存在一个双射, 只须证?1?2?id?, ?2?1?id?.
21（1）要证?1?2?id?, 只须证????2,?1?2(?)??, 即证?1(??)??, 即
2?????.
而
(a,b)?????{(a,b)?R?R|a?b???}
?(a?b,?)???(a,b)??
.
所以?????, 即?1?2?id?.
2（2）要证?2?1?id?, 只须证?I??1,?2?1(I)?I, 即证?2(?I)?I, 即
1??I?I.
a. ?a???I?{a?R|(a,?)??I}, 由于?I?{(a,b)?R?R|a?b?I}, 所以有
a?a???I, 即??I?I.
b. ?a?I,有a???I, 即(a,?)??I, 所以a???I, 即
I???I.
所以??I?I, 即?2?1?id?. □
1所以，由定理4.5及定理4.6可知：环上所有同余与所有理想分别组成的集合之间存在双射，即有一一对应的关系.
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同余与子结构
五、模上的同余与子结构
定义5.1[8] 设R为有恒等元1R(?0)的环, M是一个加法交换群, 定义一个从R?M到M的倍数乘法“﹒”:
?:R?M?M
.
(r,m)?rm,?r?R,m?M且“﹒”满足:
（1） k(a?b)?ka?kb, （2） (k?l)a?ka?la, （3） (kl)a?k(la), （4） 1Ra?a,
其中k,l?R, a,b?M, 那么就称M做成环R上的一个左R?模．类似的也可以定义右
R-模. 下面我们只讨论左R?模上同余与子结构的对应关系, 且左R?模简称为R?模. 定义5.2[8] 设M是一个R-模, K是M的非空子集, 如果K关于M的加法和倍数乘
法本身也做成R上的模, 则称K是M的一个子模．
类似与前面讨论，我们有
设M是一个R?模, ?是M?M的非空子集, 且?是M上的一个等价关系, 若
?(a,b),(c,d)??,r?R, 有(a?b,c?d)??,r?R, (ra,rb)??, 则称?为M的一个
同余.
设M为任意一个R?模, K是M任意的一个子模. 于是, M作为交换群来看, K自然是M的一个关于加法的正规子群. 令
M/K?{a?a?K|a?M}.
在M/K中定义加法:
a?b?a?b,?a,b?M/K.
及倍数乘法:
ka?ka, ?k?R,a?M/K,
则M/K关于规定的加法做成一个商群, 且
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同余与子结构
a?b?a?b?K?k(a?b)?ka?kb?K?ka?ka?kb?kb.
这样, 容易得到下述的结论. 即
命题5.4[8] 设M是R?模, K是M的一个子模. 那么, 按如下的运算:
a?b?a?b, ka?ka,?a,b?M/K, k?R.
商集合M/K做成一个R?模, 并称之为M关于子模K的商模[8]. 下面我们来讨论一下模上同余与子模之间的关系. 定理5.6 设M是R?模, 则有下面结论:
（1）若K是M的一个子模, 那么有?K?{(a,b)?M?M|a?b?K}为M的一个同余; （2）若?是M的一个同余, 则K???（?为M上加法零元）为M的一个子模. 证明: （1）首先证明?K?{(a,b)?M?M|a?b?K}是一个等价关系:
a．（自反性）由于K为M的一个子模, 那么对于?a?M, 有a?a???K, 即
(a,a)??K;
b. （对称性）?a,b?M, 若(a,b)??K, 则a?b?K, 由于K为M的一个子模, 所以
b?a??(a?b)?K, 所以
(b,a)??K;
c. （传递性）?a,b,c?M, 若(a,b)??K, (b,c)??K, 即?k1,k2?K, 使得a?b?k1,
b?c?k2, 由于K为M的一个子模, 所以a?c?(a?b)?(b?c)?k1?k2?K, 所以(a,c)
??K.
下面只须再证明?K是相容的即可:
?a,b,c,d?M, 若(a,c)??K, (b,d)??K, 即?k1,k2?K, 使得a?c?k1,
b?d?k2. 由于M加法交换群, 则M的任意一个加法子群必定关于加法成正规子群. 而
K为M的一个子模, 所以K关于加法成正规子群, 有a?K?K?a. 则?k3?K, 使得
则(a?b)?(c?d)?a?(b?d)?c?a?k2?c?k3?a?c?k3?k1?K, 即
(a?b,c?d)??Ka?k2?k3?a.
.
由于K为M的一个子模, 则?r?R, 有
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同余与子结构
ra?rc?r(a?c)?rk1?K,
即
(ra,rc)??K.
所以?K是M的一个同余.
（2）由于?为模M的一个同余, 特别考虑???{a?M|a??}这个集合, 由于M关于加法是一个群, 显然?可以看成是加法群M上的一个同余, 由定理3.7第（2）结论可知, ??关于M的加法运算构成一个正规子群;
而对?a???, r?R, 有a??, 所以
(ra)?(r?)?(ra)??.
即ra???. 由定义5.2可得??为M的一个子模. □
定理5.7 设M是一个R?模, ?1表示M上所有子模组成的集合, ?2表示M上所有同余组成的集合, 则?1与?2之间存在一个双射. 证明: 首先我们定义：
(1)
?1:?1??2K??K,?K??1;
(2)
?2:?2??1????,????2;
显然, 由定理5.6可知, ?1,?2 是良好定义的. 则要证?1与?2之间存在一个双射, 只须证?1?2?id?, ?2?1?id?.
21（1）要证?1?2?id?, 只须证????2,?1?2(?)??, 即证?1(??)??, 即
2?????.
而
(a,b)?????{(a,b)?M?M|a?b???}
?(a?b,?)???(a,b)?? 13 页
.
同余与子结构
所以?????, 即?1?2?id?.
2（2）要证?2?1?id?, 只须证?K??2,?2?1(K)?K, 即证?2(?K)?K, 即
1??K?K.
a. ?a???K?{a?M|(a,?)??K}, 由于?K?{(a,b)?M?M|a?b?K}, 所以有
a?a???K, 即??K?K.
b. ?a?K,有a???K, 即(a,?)??K, 所以a???K, 即
K???K.
故??K?K, 即?2?1?id?. □
1所以由定理5.6及定理5.7可知: 模上所有同余与所有子模分别组成的集合之间存在一个双射, 即有一一对应的关系.
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