同余与子结构
三、群上同余与子结构
在群上, 正规子群是群上一类特殊子群, 而同余却是关于运算满足左右相容的特殊等价关系. 那么群上所有同余与所有正规子群之间是否有特殊的关系, 这一章我们便来讨论这一点.
定义3.1[1] 设(G,?)为一个群, H是群G的一个子群, H称为G的一个正规子群, 若
?a?G, 有aH?Ha.
定义3.2[1] 设?是群(G,?)的一个同余, 对集族G/??{a?|a?G}, 其中a??{b?G|
b?a},
定义一个运算“?”:
?a,b?G, a??b??ab?.
则G/?关于运算“?”构成一个群.
定义3.3[1] 设?是群(G,?)的一个同余, 则我们把G/?称之为G的商群. 下面我们来讨论一下群上同余与正规子群之间的关系. 定理3.4[4] 设(G,?)为一个群, 则有下面结论:
（1）若H为群G的一个正规子群, 那么有?H?{(a,b)?G?G|ab?1?H}为群G的一个同余;
（2）若?是群G的一个同余, 则H?e?（e为单位元）为群G的一个正规子群. 证明: （1）首先证明?H?{(a,b)?G?G|ab?1?H}是一个等价关系:
a．（自反性）由于H为群G的一个子群, 所以有?a?G, aa?1?e?H, 即
(a,a)??H;
b. （对称性）?a,b?G, 若(a,b)??H, 则ab?1?H, 由于H为群G的一个子群, 所以ba?1?(ab?1)?1?H, 所以
(b,a)??H;
c.（传递性）?a,b,c?G, 若(a,b)??H, (b,c)??H, 即?h1,h2?H, 使得ab?1?h1,
bc?1?h2, 由于H为群G的一个子群, 所以ac?1?ab?1bc?1?h1h2?H, 所以
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(a,c)??H.
下面只需再证明?H是相容的即可:
?a,b,c,d?G, 若(a,c)??H, (b,d)??H, 即?h1,h2?H, 使得ac?1?h1, bd?1?h2.
由于H为群G的一个正规子群, 则有aH?Ha, 所以?h3?H, 使得ah2?h3a.则
ab(cd)?1?abd?1c?1?ah2c?h3ac?1?h3h1?H, 即
.
(ab,cd)??H所以?H是群G的一个同余.
（2）由于?为群G的一个同余, 由定义3.3可知, G/?为G的商群, 特别对于e?这个集合, 由于e?是群G/?的单位元，所以我们有{ab|a,b?e?}?e??e??e?, 故e?关于G的运算封闭. ?a?e?, 则由a?e,a?1?a?1得, aa?1?ea?1, 即a?1?e, 所以a?1?e?. 因此e?是G的一个子群. 再由?a?G, 有a(e?)a?1?a??e??a?1??(aea?1)??e?.
故知e?是群G的一个正规子群. □ 定理3.5 设G为一个群, ?1表示G上所有正规子群组成的集合, ?2表示G上所有同余组成的集合, 则?1与?2之间存在一个双射. 证明:首先我们定义:
(1)
?1:?1??2H??H,?H??1;
(2)
?2:?2??1??e?,????2;
显然, 由定理3.4可知, ?1,?2 是良好定义的. 则要证?1与?2之间存在一个双射, 只须证?1?2?id?, ?2?1?id?.
21（1）要证?1?2?id?, 只须证????2,?1?2(?)??, 即证?1(e?)??, 即
2?e???.
而
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(a,b)??e??{(a,b)?G?G|ab?(ab?1?1?e?}
,e)??
?(a,b)??.
所以?e???, 即?1?2?id?.
2（2）要证?2?1?id?, 只须证?H??1,?2?1(H)?H, 即证?2(?H)?H, 即
1e?H?H.
a. ?a?e?H?{a?G|(a,e)??H}, 由于?H?{(a,b)?G?G|ab?1?H}, 所以有
a?ae?1?H, 即e?H?H.
b. ?a?H,有ae?1?H, 即(a,e)??H, 所以a?e?H, 即
H?e?H.
所以e?H?H, 即?2?1?id?. □
1所以，由定理3.4及定理3.5可知：在群上, 所有同余与所有正规子群分别组成的集合之间存在一一对应的关系.
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四、环上的同余与子结构
在群上同余与正规子群分别组成的集合之间存在一一对应的关系. 在环上, 对应与群上正规子群类似性质的结构则是理想. 那么环上是否也有相应的结论呢？ 即在环上, 是否所有同余与其所有理想有一一对应的关系？ 这章我们便来讨论这一点.
定义4.1[1] 设(R,?,?)为一个环, I称为R的一个理想, 若 （1）I是R的一个子加群; （2）?r?R,i?I, ri?I且ir?I.
定义4.2[1] 设?是环(R,?,?)的一个同余, 对集族R/??{r?|r?R}, 其中r?定义为
r??{a?R|a?r},
在R/?上定义一个运算“?”, “?”, ?a,b?R
a??b??(a?b)?a??b??(ab)?;
.
则有
定理4.3[1] R/?关于运算“?”, “?”构成一个环. □ 定义4.4[1] 设?是环(R,?,?)的一个同余, 则我们把R/?称之为R的商环. 下面我们来讨论一下环上同余与理想之间的关系. 定理4.5 设(R,?,?)为一个环, 则有下面结论:
（1）若I为环R的一个理想, 那么有?I?{(a,b)?R?R|a?b?I}为环R的一个同余; （2）若?是环R的一个同余, 则I???（?为加法零元）为环R的一个理想. 证明: （1）首先证明?I?{(a,b)?R?R|a?b?I}是一个等价关系:
a．（自反性）由于I为环R的一个子环, 所以有?a?R, a?a???I, 即
(a,a)??I;
b. （对称性）?a,b?R, 若(a,b)??I, 则a?b?I,由于I为环R的一个子环, 所以
b?a??(a?b)?I, 所以
(b,a)??I 8 页
;
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c. （传递性）?a,b,c?R, 若(a,b)??I, (b,c)??I, 即?i1,i2?I, 使得a?b?i1,
b?c?i2, 由于I为环R的一个子环, 所以a?c?(a?b)?(b?c)?i1?i2?I, 则
(a,c)??I.
下面只需再证明?I是相容的即可:
?a,b,c,d?R, 若(a,c)??I, (b,d)??I, 即?i1,i2?I, 使得a?c?i1, b?d?i2.
由于I为环R的一个理想, 有a?I?I?a, 所以?i3?I, 使得a?i2?i3?a.则
(a?b)?(c?d)?a?(b?d)?c?a?i2?c?i3?a?c?i3?i1?I(a?b,c?d)??I, 即
.
而ab?cd?ab?cb?cb?cd?(a?c)b?c(b?d)?i1b?ci2, 由于I是理想，所以
i1b?I, ci2?I.
则ab?cd?i1b?ci2?I, 即(ab,cd)??I. 所以?I是环R的一个同余.
（2） 由于?为环R的一个同余, 由定义4.4可知, R/?为R的商环, 特别对于??这个集合, 由于??是环R/?的加法零元，所以我们有:
{a?b|a,b???}?????????及{ab|a,b???}?????????,
故??关于R的两个运算封闭. ?a???, 则由a??,(?a)?(?a)得, (a?a)?(??a), 即
(?a)??, 所以?a???. 这样便证明了??是环R的一个子加群.
再由?a?R,i???, 有
ai?a?????(a?)????.
故知??是环R的一个理想. □ 定理4.6 设R是一个环, ?1表示R上所有理想组成的集合, ?2表示R上所有同余组成的集合, 则?1与?2之前存在一个双射.
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