习题9-1 多元函数的基本概念
1.求下列各函数的定义域： （1）z?ln(y?x)+x1?x2?y2；
（2）u?arccoszx2?y2
2.求下列各极限： （1）
lim2?xy?4；
(x,y)?(0,0)xy（2）
(x,ylimxy)?(0,0)2?exy；
?1（3）
limtan(xy)(x,y)?(2,0)y.
（4）lim(x2(x2?y2)x?y2)e?
y????令u?x2?y2，原式?limuu??eu?lim1u??eu?0
2（5）
?x,ylimx?y2?sinx2?y2???0,0??
x2?y2?31令t?x2?y2，则原式?limt?sint1?cost2x21t?0?t3?limt?0?3t2?limt?0?3t2?6
1
习题9-2 偏导数
1.求下列函数的偏导数： （1）z?sin(xy)?cos2(xy)；
（2）z?(1?xy)y；
（3）u?arctan(x?y)z.
（4）设z?y2?z3x???xy?，其中??u?可导，证明x2?x?y2?xy?z?y 解 ?z?x??y2?z2y3x2?y???xy?,?y?3x?x???xy?
左边?x2?z?x?y2??y23?x2y???xy??y2?xy??2y?3x?x???xy?????右边
2.求下列函数的?2z?2z?2z?x2，?y2和?x?y.
（1）z?arctanyx；
2
（2）z?yx.
习题9-3 全微分
1.求下列函数的全微分： y（1）z?ex；
（2）u?xyz.
（3）u?x?siny?eyz2. 解
?u?1,?u?1coys?zeyz?u,?yeyz?x?y22?z，所求的全微分为 du?dx???1y?2cos2?zeyz???dy?yeyzdz‘
（4）u?tan?x2?y2?z2?
2x2?y2?z2解 ?u?x?xsec?ux2?y2?z2， ?y?ysec2x2?y2?z2x2?y2?z2
3
?uzsec2x2?y2?z2 ?222?zx?y?zdu?sec2x2?y2?z2x?y?z222?xdx?ydy?zdz?
2.求函数z?y，当x?2，y?1，?x?0.1，?y??0.2时的全增量和全微分。 x3.设f?x,y,z??zxy，求df?1,1,1? 1z?1解
?f1?x?x?z???y???1y,??f?x?1
?1,1?,11?f1?xz?1?y?z???y??????x??f?y2??,??y??1
?1,1,1??fx?f?z?zy?lnxy?????1?z2??,??z?0
?1,1,1?故 df?1,1,?1?d?xd y习题9-4 多元复合函数的求导法则
1.设z?u2lnv，而u?xy，v?3x?2y，求?z?z?x，?y.
2.设z?arcsin(x?y)，而x?3t，y?4t3，求
dzdt.
4
3.设u?eax(y?z)a2?1，而y?asinx，z?cosx，求dudx. 4.求函数u?f(x,xy,xyz)的一阶偏导数（其中f具有一阶连续偏导数）
5.设z?xy?xF(u)，而u?yx，F(u)为可导函数，证明x?z?x?y?z?y?z?xy. ?2z?2z?26.设z?f(x2?y2)，其中f具有二阶导数，求z?x2，?x?y，?y2.
5