3.求函数u?x?y?z在球面x2?y2?z2?1上点(x0,y0,z0)处，沿球面在该点的外法线方向的方向导数。
2224.设f(x,y,z)?x?2y?3z?xy?3x?2y?6z，求gradf(0,0,0)及gradf(1,1,1).
5.求函数u?xyz在点P0(1,?1,2)处变化最快的方向，并求沿这个方向的方向导数。
2
11
6.求函数u?()在P,1,1)沿着方向l?(2,1,?1)的方向导数0(1解：
yxz?u?l
Po
．
?u?x?u?y?u?z0yz?1y?z()(?)P02xxyz?11?z()()P0xxyzy?()ln()P0xx26,16,?2616P0??1,
P0?1,
P0?0,
l?()
161616 ??u?lP0?(?1)??1??0?(?)??.
习题9-8 多元函数的极值及其求法
1.求函数f(x,y)?e2x(x?y2?2y)的极值。
2.求函数z?xy在适合附加条件x?y?1下的极大值。
3.在平面xOy上求一点，使它到x?0，y?0及x?2y?16?0三直线的距离平方之和为
12
最小。
4.将周长为2p的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体，问矩形的边长各为多少时，才可使圆柱体的体积为最大？
5.求函数z?f(x,y)?xy?11?(xy?0)的极值 xy
1(1,解:
zx?y?令
11,z?x?yx2y2zx?0,zy?0?x(y,?)zxx?2x?3,zxy?1,zyy?2y?3?A?2,B?1,C?2
??AC?B2?3?0，且A?0
所以(x,y)?(1,1)为函数的极小值点，极小值为6.求表面积为6而体积最大的长方体的体积.
解 设长方体的长,宽,高分别为x,y,z,则问题归结为在满足条件2(xy?yz?zx)=6时求长方
f(1,1)?3
13
体的体积V?xyz的最大值. 它的拉格朗日函数为L(x,y,z,?)?xyz??(3?xy?xz?yz),x?0,y?0,z?0,
令
?L?L?L?yz??(?y?z)?0,?xz??(?x?z)?0,?xy??(?x?y)?0, ?x?y?z??yz??(?y?z)?0有??xz??(?x?z)?0xy??(?x?y)?0 ???3?xy?xz?yz?0解方程组有 x?y?z?1 长方体的最大体积为1.
复习题九
求函数f(x,y)?4x?y21.ln(1?x2?y2)的定义域，并求lim(x,y)?(1f(x,y) 2,0)
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?2.设f(x,y)??x2y?x2?y2,x2?y2?0，求fx(x,y)，fy(x,y).
??0,x2?y2?03.求下列函数的一阶和二阶偏导数： （1）z?ln(x?y2)；
（2）z?xy.
4.设z?f(u,x,y)，u?xey，其中f具有二阶连续偏导数，求?2z?x?y.
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