5.设x?eucosv，y?eusinv，z?uv，试求
?z??x和z?y. 6.求螺旋线x?acos?，y?asin?，z?b?在点(a,0,0)处的切线及法平面方程。
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7. 已知?(x,y)具有连续偏导数且?(x?z,y?z)?0确定函数z?z(x,y)，试计算
?z?z? ?x解:
?1(1??z??x)??z2(??x)?0
?z?1?x??
1??2
?1(??z?y)????z2(1?y)?0
?z??y?2?
1??2
?z?x??z?y?1 8. 已知二元函数u(x,y),v(x,y)在区域D内满足 （1）具有连续偏导数； （2）
?u?x??v?u?v?y,?y???x，u2?v2?C（C常数）； 证明 u(x,y),v(x, y在区域)D内均为常数 证 (1)当C?0时, u?v?0,从而u(x,y),v(x,y)均为常数.
??2u?u?v(2)当C?0时,由u2?v2?C,两边关于x,y分别求偏导数得???x?2v?x?0
???2u?u?v?y?2v?y?0又
?v?x???u?y,?v?y??u?x,则上述方程组变为 ???2u?u?u??x?2v?y?0 ???2v?u?x?2u?u ?y?0其系数行列式
2u?2v?u2v2u?4(u2?v2)?0,所以
?x??u?y?0,且?v?x??v?y?0,
?y17
从而u(x,y),v(x,y)均为常数.
9.某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R（万元）与电台广告费用x1（万元）及报纸广告费用x2（万元）之间的关系有如下的经验公式：
R(x,y)?15?14x?32y?8xy?2x2?10y2
（1）在广告费用不限的情况下，求最优广告策略； （2）若广告费用为1.5万元，求相应的最优广告策略。
解：(1)利润函数为L?R?(x?y)?15?13x?31y?8xy?2x2?10y2
??L?13?8y?4x?0?3535??x令??x?,y?,(,) 为L(x,y)唯一的驻点
4444??L?31?8x?20y?0???y35L(,)?39.25（万元） 44当电视广告费与报纸广告费分别为0.75万元和1.25万元时，最大利润为39.25万元，此即
为最佳广告策略.
(2)利润函数为L?R?(x?y)?15?13x?31y?8xy?2x2?10y2
求广告费用为1.5万元的条件下的最佳广告策略，即为条件：x?y?1.5下，
L(x,y)的最大值
令F(x,y)?L(x,y)???(x,y)?15?13x?31y?8xy?2x?10y??(x?y?1.5)
22?Fx'?13?8y?4x???0?'令?Fy?31?8x?20y???0?x?0,y?1.5，这是唯一的驻点， ??x?y?1.5?0又由题意知L(x,y)一定存在最大值，故L(0,1.5)?39（万元）为最大值. 10.试证曲面x?y?z?2上任意点处的切平面在各坐标轴上的截距之和为定值
证明: 设M0(x0,y0,z0)为曲面上任意一点 令F(x,y,z)?
x?y?z?2 12y ; Fz?Fx?12x ; Fy?12z
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切平面方程：111(x?x0)?(y?y0)?(z?z0)?0 x0y0z02x0,2y0,2z0 切平面在三坐标轴上的截距分别为所以截距和为
2x0?2y0?2z0?2
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