＿概 率 统 计 习题
一、填空题（每空3分 共33分）
1．某工厂一班组共有男工6人，女工4人，从中任选两名代表，则其中恰有一名女工的概率为__ 8/15 _____.
2．已知事件A、B相互独立，且P(A)=0.7，P(B)?0.4，则A、B至少有一个发生的概率为 0.58 .
3．设A、B为两个事件，且P(A)=0.7,P(B)?0.6,P(A?B)=0.4，则P(AB)? 0.5 .
?kx2,0?x?14．设随机变量X的密度函数为p(x)??，则常数k为 3 .
?0,其它??0,x?0???5. 设随机变量X的分布函数为F(x)??Asinx,0?x?，则常数A? 1 ,
2???1,x???2??cosx,0?x??X的密度函数为p(x)? ?2 .
?其它?0,1(3)、Y~B(8,),且X与Y相互独立，6．设X~P则D(X?3Y?1)? 19 , 3?XY? 0 ．
7. 设X的分布列为
X ?2 ?1 0 1 2 pK 0.2 0.1 0.4 0.2 0.1 Y 4 1 0 且Y?X,则Y的分布列为 .
2p 0.3 0.3 0.4 8. 设总体X~N(?,?)， X1,X2,X3为来自总体X的样本，则当常数a? 1/4 时
2??11X1?aX2?X3是总体均值?的无偏估计量。 42 Xm是来自总体X~N(?1,?12)的样本，X为样本均值，S12为样本方差，
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9. X1,X2,
Y1,Y2,Yn是来自总体Y~N(?2,?22)的样本，Y为样本均值，S22为样本方差，其中
?12,?22已知，对于给定的?，检验假设H0:?1??2H1:?1??2的拒绝域为
X?Y?21n1??22?Z? 。
n2二、选择题（每小题3分，共15分）
1．掷一颗均匀的骰子5次，则“一点”一次都不出现的概率为（ B ）
（A）() (B) () (C) 1?() (D) 1?() 2．已知D(X)?1，D(Y)?25,?XY?0.4,则D(X?Y)?（ A ）
（A） 22 (B) 6 (C) 30 (D) 46
3. 设E(X)?8000,D(X)?1600,则利用切比雪夫不等式估计概率
165565165565P?7800?X?8200??( C )
（A） 0.04 (B) 0.20 (C) 0.96 (D) 1.00 4．X1,X2,（ B ）
Xn是来自总体X~N(?,?)的样本，X为样本均值，则E(X)?22?2（A）??? (B) ?? (C) ? (D)
nn222?225．设X1,X2,X3,X4是来自总体X~N(0,1)的样本,则统计量为（ D ）
X1?X2X3?X422服从的分布（A）F(1,2) (B) F(2,2) (C) t(3) (D) t(2)
三（8分）已知男人中有5%色盲，女人中有0.25%色盲，今从男女人数相等的人群中
随机地挑选一人，问：（1）此人是色盲的概率是多少？
（2）若已知此人是色盲，则此人是男性的概率是多少？ 答案：(1)设B表示“此人是色盲”，A表示“此人是男人”， ---------1分 则由题意知：P(A)?0.5，P(A)?0.5， P(B|A)?5%，P(B|A)?0.25% 由全概率公式得
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P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)?0.5?5%?0.5?0.25%=2.625% --------5分
(2) 由贝叶斯公式得
P(A|B)?P(A)P(B|A)0.5?5 ???0.952 -----------8分 2.625!P(B)四（9分）、设二维随机向量(X,Y)的联合密度函数为
?1?xy,?1?x?1,?1?y?1；?p(x,y)??4
? ?0, 其它，求：（1）边沿密度函数pX(x)，pY(y)； （2）判断X与Y是否相互独立；（3）计算P(X?Y?1)。
?11?xy?1??dy,?1?x?1??,?1?x?1??2答案：（1）pX(x)??p(x,y)dy????14，
????0,其它??0,其它11?xy??1??dx,?1?y?1?,?1?y?1???1pY(y)??p(x,y)dx????2 ---------4分 4????0,其它??0,其它5111（2）由于在p(x,y),pX(x)和pY(y)均连续的点(1处，p(1，pX(1，2,2)2,2)?162)?21111，即p(1,故X与Y不相互独立。 ---------6分 pY(12,2)?pX(2)pY(2)2)?2（3）
P(X?Y?1)?1?P(X?Y?1)?1?x?y?1??p(x,y)dxdy?1??dx?01791?xy dy?1?x9641 ---------9分
五（8分）、设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为
X Y 0 1 0 0.1 0.2 1 0.2 2 0.1 ? ?
且E(Y)?1，求：(1) 常数?与?；（2）D(X)，D(Y)；(3) cov(X,Y)。 答案：（1） Y的边沿分布 Y 0 1 2 p?j 0.3 0.2+α 0.1+β
由E(Y)?1得 0.4???2??1 ① 由分布列的性质得 0.6?????1 ②
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解得 ??0.2，??0.2 -------------3分 （?）X的边沿分布?
X 0 1
0.6 E(X)?0?0.4?1?0.6?0.6 pi? 0.4 E(X2)?02?0.4?12?0.6?0.6
2所以 D(X)?E(X)??E(X)??0.6－0.36＝0.24
2E(Y2)?02?0.3?12?0.4?22?0.3?1.6
D(Y)?E(Y2)??E(Y)??1.6?1?0.6 -------------6分
（3）E(XY)?1?1?0.2?1?2?0.2?0.6
2(X,Y)?所以 COVE(X?Y)E(X)E(?Y)0.?6?0.?6 -------------8分
??,x?1；?六（9分）、设总体X的概率密度函数为p(x;?)??x??1，其中??1是未知
?? 0, 其它，参数，X1,X2,,Xn为来自总体X的容量为n的样本。求： （1）未知参数?的矩估计量；
（2）未知参数?的极大似然估计量。
答案：（1）E(X)?令X?E(X)??????xp(x)dx????1x?xdx???1???1
???1??，得?的矩估计量为?X --------------4分 X?1
（2）似然函数为L(?)??x?i?1ini?1n??1??n(?xi)??1i?1nlnL(?)?nln??(??1)?lnxi dlnL(?)nn令???lnxi?0
d??i?1??得?的极大似然估计量为?n?lnXi?1n ---------9分
i七（9分）、设某行业的一项经济指标服从正态分布N(?,?)，其中?，?均未知，今获取了该指标的9个数据作为样本，并算得样本均值x?56.93，样本标准差s?0.93，试求?的置信度为95%的置信区间。
（附：t0.05(8)?1.86，t0.025(8)?2.31，t0.05(9)?1.83，t0.025(9)?2.26）
22
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X??~t(n?1) --------------3分 S/n???X????t?(n?1?)??1? 由 P????S/n2?得?的置信度为95%的置信区间为
答案：因为?未知，所以设T?2
??SS ?X?t?(n?1),X?t?(n?1)? --------------6分
n2n2??由已知，得n?9,??0.05，t?(n?1)=t0.025(8)?2.31，x?56.93，s?0.93
2计算得X?Sn29S0.93 X?t(n?1)?56.9?3?2.?315 7.6461?n29所以，总体均值?的置信度为95%的置信区间为（56.2139，57.641） ---------9分 八（9分）、某镇居民日收入服从正态分布N(?,?2)，现随机调查该镇25位居民，得
知他们的平均收入x?66.4元，样本标准差s?15元。试问，在??0.05下，是否可以认为该镇居民日收入的方差为16？
2222（附：?0.025(24)?39.4?0.05(24)?36.4，?0.975(24)?12.4，?0.95(24)?13.8）
2t?(n?1)?56.93?0.93?2.31?56.2139，
22答案：检验假设：H0:?2??0 ---------2分 ?162，H1:?2??0?未知，用?检验，当H0为真时，选取统计量??22(n?1)S22?0~?2(n?1) -------5分
n?25，对于显著性水平??0.05，查表得临界值为 222??(n?1)??0.025(24)?39.4，?12??(n?1)??0.975(24)?12.4，
22所以，检验假设的拒绝域为由观察值s?15得，
(n?1)S2?20?12.4，或
(n?1)S2?20?39.4， -------7分
(n?1)S22?024?152??21.09375 2162因为12.4?21.09375?39.4，所以接受原假设，即可认为该镇居民日收入的方差为16。
-----9分
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