一、填空题（每空3分 共33分）
1．从0,1,2,3,4五个数中任取3个数，则这3个数中不含0的概率为__ 2 _. 52．设P(A)?0.5，P(B)?0.6,且P(BA)?0.4，则A、B至少有一个发生的概率为
0.9.
3．已知A、B相互独立，且P(A)=0.2,P(B)?0.5，则P(A-B)=0.1 .
?kx,0?x?24．设随机变量X的密度函数为p(x)??，则常数k为0.5，
?0,其它?1?Ae?x,x?05. 设随机变量X的分布函数为F(x)??，则常数A? 1 , X的密
?0,x?0?e?x,x?0度函数为p(x)? ? . ?0,x?06．设随机变量X服从参数为
1的指数分布, Y?3X?2,则E(Y)? 4 . 27.设X~N(1,4)、Y~P(5),且A与B相互独立，则D(2X?Y)? 21 ． 8.设X的分布列为
且Y?X,则P(Y?4)? 0.5 . 9.设X1,X2,X3,X4是来自总体X~N(0,1)的样本,设Y?(X1?X2)2?(X3?X4)2,则当c?
2X ?2 0 1 2 pK 0.1 0.2 0.3 0.4 12 时，cY~?(2) 2210.设总体X~N(?,?2)，其中?已知，X1,X2,Xn为来自总体X的样本，X为
样本均值，S2为样本方差，对于给定的?，检验假设H0:???0H1:???0的拒绝域为 X??0?n??z? 。
二、选择题（每小题3分，共15分）
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1．掷一枚均匀的硬币3次，则恰有一次出现正面的概率为（ C ）
（A）
1131 (B) (C) (D) 8482122．设X~B(10,)，Y~N(2,10),又E(XY)?14,则?XY?（ D ）
（A） ?0.8 (B) ?0.16 (C) 0.16 (D) 0.8 3. 设X在?0,1?上服从均匀分布，则利用切比雪夫不等式得P?X?1???21???( B ) 3?11113 (B) (C) (D) 1241244．设总体X~N(?,?2)，X1,X2,Xn是来自总体X的样本，X为样本均值，则
（A）
?2的无偏估计量为（ A ）
21n1n1n222（A） (B) (C) (D) (X?X)(X?X)XX?i?i?in?1i?1ni?1ni?1
5．已知X与Y相互独立,且X~?2(10)，Y~?2(20),则2X服从的分布为（ D ）
Y
（A）?2(30) (B)
?2(40) (C) F(20,10) (D) F(10,20)
三（8分）设8支枪中有3支未校正，5支已校正，一射手用校正过的枪射击，中靶率
为0.8，而用未校正的枪射击，中靶率为0.3，今该射手从8支枪中任取一支射击， 问：（1）中靶的概率？ （2）若已知中靶，则该射手使用校正过的枪的概率是多少？ 答案：设B表示“此人中靶”，A表示“此枪是校正过的”， ---------1分 则由题意知：P(A)?由全概率公式得
538P(B|A)?0.3 ，P(A)?， P(B|A)?0.，
885349 --------5分 P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)??0.8??0.3??88805?0.8P(A)P(B|A)840(2) 由贝叶斯公式得P(A|B)? --------8分??49P(B)4980四（9分）、设二维随机向量(X,Y)的联合密度函数为
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?x?y,0?x?2,0?y?1；? p(x,y)??3? ?0, 其它，求：（1）边沿密度函数pX(x)，pY(y)（2）判断X与Y是否相互独立；（3）计算P(Y?X)。
答案：（1）pX(x)??????1?1x?y?1dy,0?x?2(x?),0?x?2??，p(x,y)dy???03??32??0,其它0,其它??pY(y)???????2x?y?2dx,0?y?1?(1?y),0?y?1??0 ---------4分 p(x,y)dx????33??0,其它0,其它??11441144111，pX()?，644（2）由于在p(x,y),pX(x)和pY(y)均连续的点(,)处，p(,)?151111pY()?，即p(,)?pX()pY(),故X与Y不相互独立。
464444 ---------6分
1132111?(x?x?)dx?（3）P?Y?X????p(x,y)dxdy??dx?(x?y)dy ?0220x 336y?x11 ---------9分
五（8分）、设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为
X 0 1
求：(1) 常数?；（2）
Y -1 1 2 1 153 10? 15 1 15415 E(X)，E(Y)；(3) D(X)????COV(X,Y)。
15???1?3?1?4?1
1510515答案：（1）由分布列的性质得 1解得 ??1
10 ---------2分
8
（2）因为X的边沿分布列为 ?
所以E(X)?0?7X 0 1 pi? 7302330 30?1?2330?23Y 30
又因为Y的边沿分布列为 所
-1 1 2 p?j 11以
303 101 3E(Y)?(?1)?112?1?3?2?1?3 ---------4分 3010352(3) 因为E(X)?0?7
302?12?2330?2330
所以D(X)?E(X)?E(X)?23230?(23)2?161 ---------6分
30900
(4) COV(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)
?0?(?1)?1?0?1?1?0?2?1?1?(?1)?3?1?1?1?1?2?4
15101510515??3?1?8?13 ---------8分
1051530?2?x2??1,0?x?1；六（9分）、设总体X的概率密度函数为p(x;?)??，其中??0是未知
? 0, 其它，参数，X1,X2,,Xn为来自总体X的容量为n的样本。
求：（1）未知参数?的矩估计量；（2）未知参数?的极大似然估计量。 答案：（1）E(X)?令 X?E(X)??????xp(x)dx??x2?x2??1dx?012? 2??12?X??，得?的矩估计量为? --------4分 2??12(1?X) 9
（2）似然函数为L(?)??2?xi?1nn2??1i?(2?)(?xi)2??1
ni?1nlnL(?)?nln2??(2??1)?lnxi
i?1ndlnL(?)n令??2?lnxi?0
d??i?1???得?的极大似然估计量为?n2?lnXii?1n --------9分
七（9分）、一台自动车床加工的零件长度X服从正态分布N(?,?)，其中?，?均未知，从该车床加工的零件中随机抽取4个，测得样本方差s?22222，试求?的置信度为95%的152222置信区间。（附：?0.025(3)?0.22，?0.975(4)?0.48） (3)?9.35?0.025(4)?11.14，?0.975答案：因为?未知，所以设??2(n?1)S2?2~?2(n?1) --------------3分
?2?(n?1)S2??2??(n?1)由 P???(n?1)???1?? ?21?????22?得?2的置信度1??为的置信区间为
??22?(n?1)S(n?1)S?,2 ?2 -------------6分 ????(n?1)?1??(n?1)??22?222由已知，得n?4,??0.05，?0.025 (3)?0.22，s2?(3)?9.35，?0.9751523?2(n?1)S15?0.043， ?计算得2??(n?1)9.352 10