第三部分 现代控制理论习题详解 第二章 状态空间表达式的解
第二章 状态空间表达式的解
3-2-1 试求下列矩阵A对应的状态转移矩阵φ（t）。 （1） A?0???01???2??0???4?1??0?（2） A
0??1?4??（3）
?0A????11???2?（4）
?0?A?0???210?5
（5）
?0?0A???0??0100001000??0?1??0?（6）
???0A???0??0001?00?00??0?1????
【解】： （1）
?1?s]?L{??0?(t)?L[(sI?A)?1?1?1??s?2??1?1??1s}?L??0????s(s?2)?1?(s?2)??1
?1??1s?L??0??0.50.5???1s(s?2)???1???0?(s?2)??0.5?0.5ee?2t?2t????
（2）
?1?s]?L{???4?(t)?L[(sI?A)?1?11??s??1?s?2?1}?L?s?4?42??s?4???2s?4???cos2t?s??2sin2t2s?4??1?0.5sin2t??cos2t?
（3）
?1?s]?L{??1?(t)?L[(sI?A)?1?1?1??s?2??1?s?2?2(s?1)?1}?L?1???(s?1)2??2?(s?1)?s?2(s?1)??1
?te?t?e?t?(t)???t???tetee?t?t?t?te????
（4）
特征值为：?1??2?1,?3?2。
由习题3-1-7(3)得将A阵化成约当标准型的变换阵P为
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?1?P?1???10121??2?4???0???2???123?2?1???1?1??，P?1
线性变换后的系统矩阵为：
?1~??1A?PAP?0???0?et???0?0?012tt1100??0?2??
e~Attee00??0?2te??2t
?(t)?eAt?Pe~AtP?1?1??1???11??e??2?0??4???02t2t2t0et00??0t??te??2?t?e?1??ttt23?2?1???1?1??t
2tt?e?2te?2ttt?(t)??2e?2te?2e?4e2t?2tet?4et??2e?4e?8e?3te?2e?3te?5e?3te?8ettte2e4e2t2t2t?tt??te?2e?tt?te?3e???te?et
（5）
为结构四重根的约旦标准型。
?1??2??3??4?0
??1??0??0??0t10012!t2?(t)?eAt?e?tt10?3?t??13!12??t???02!??t??0??1??01t10012tt1023?t?612?t? 2?t??1?1（6）
?1??2??3??4??
虽然特征值相同，但对应着两个约当块。
?(t)?eAt?eA1t????00?At?e2??
A1?????eA1t?e??
?t 20
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??t?e???0?0??0tee?t?t???A2?0???01?00??1????tee?t?t12tetee?t?t2?t?eA2t0???????
?(t)?eAt?e?t??0???0?0?0e?t000?12?t?te?2??tte??t?e?000?1s??0
?s??1?1?1?或?(t)?L[(sI?A)]?L{?????000s??000??0??1??s????1}
??????1??L???????1s??000?e?t??0???0?0?0?1?s??0001(?s??)?1?s??02????1?3(?s??)??1?2(?s??)???1??s???0
0e?t0tee?t?t000?12?t?te?2??tte??t?e?0
3-2-2 已知系统的状态方程和初始条件
?1???0x???00110??0x,?2???1???x(0)?0????1??
（1）用laplace法求状态转移矩阵； （2）用化标准型法求状态转移矩阵； （3）用化有限项法求状态转移矩阵； （4）求齐次状态方程的解。
【解】： （1）
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?s?100??1?(t)?L?1?(sI?A)?1??L?1{??0s?10??}
??0?1s?2???1?00???(s?1)??et0
?L?1?1?00?????0et?(s?1)?111??0?et?e2t???0?(s?1)(s?2)(s?2)??（2）
特征方程为：
??100?I?A?0??10?(??1)2(??2)?0
0?1??2特征值为：
?1??2?1,?3?2。
?000?rank(?A)?rank?1I??000???n1?1
??0?1?1???000?rank(?1I?A)2?rank??000???n2?1 ??011??由于n2?n1?1，所以?1对应的广义特征向量的阶数为1。
求满足(?1I?A)P1?0的解P1，得：
?000??P?11??1??000????P?21??0，P??1??0?
??0?1?1????P31????0??再根据(?2I?A)P2?0，且保证P1、P2线性无关，解得：
P2??01?1?T
对于当?3?2的特征向量，由(?3I?A)P3?0容易求得：
P3??001?T
所以变换阵为：
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0?0??
e2t??第三部分 现代控制理论习题详解 第二章 状态空间表达式的解
?1?P3??0???001?10??0?1???1??0???00110??0?1??P??P1P2，P?1
线性变换后的系统矩阵为：
（3）
特征值为：即
~?100?A?P?1AP???010??
??002???~et00?eAt???0et0??
??00e2t???et00??et0?(t)?eAt?P??0et0??1??P??0et??00e2t????0?et?e2t?1??2?1,?3?2。
e?1t?a20?a1?1?a2?1
te?1t?a1?2a2?1
e?3t?a20?a1?3?a2?3
?a?0??1?1t??1?2??11??e?a?1????012??1?te?t??1?
??a2????1??233???e?3t????111??1?et??????012???tet?
??124???e2t????0?21??et? ???23?2??t???te?
???1?11???2t?e??23
0?0??e2t??