第三部分 现代控制理论习题详解 第二章 状态空间表达式的解
0?x1[(k?1)T]???????x2[(k?1)T]???0.7448y(kT)??0.0041??x1(kT)??0?????r(kT)??1.7190??x2(kT)]??1?1?x1(kT)?0.0046???,x(kT)]?2?
③求零初始条件下单位阶跃输入的输出y(kT)。
?(k)?Gk0?????0.74480?????0.7448??0.7448????1.2803??1.2803????1.6461??1.6461????1.8761k?1??1.7190?11k
?(1)?G1?? 1.7190?1.7190??2.2102?2.2102??2.5190?2.5190??2.6840??(2)?G2
?(3)?G3?(4)?G4x(k)??(k)x(0)???(k?j?0j?1)Hu(j)
又因为输入为单位阶跃函数，且初始条件为零，所以
k?1x(k)???(k?j?0j?1)H
?0??0?x(1)??(0)??????1??1?
?1?x(2)??(1)H??(0)H????2.7190??2.7190?x(3)??(2)H??(1)H??(0)H????4.9292??4.9292?x(4)??(3)H??(2)H??(1)H??(0)H????7.4482?x(5)??y(k)?Cx(k)??0.0041y(1)?Cx(1)??0.0041y(2)?Cx(2)??0.0041y(3)?Cx(3)??0.0041y(4)?Cx(4)??0.0041
0.0046?x(k)y(k)?Cx(k)?Du(k)
0.0046?x(1)?0.00460.0046?x(2)?0.01660.0046?x(3)?0.0388
0.0046?x(4)?0.0545
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第三部分 现代控制理论习题详解 第二章 状态空间表达式的解
方法二：
系统中连续时间被控对象的传递函数为：
111 G(s)???（s?1）（s?2）（s?1）（s?2）系统中连续时间被控对象的状态空间表达式为：
??1???x?0y??10??1?x????u?2??1??1?x
状态转移矩阵为：
??1?1?1??s?1?(t)?L[(sI?A)]?L???0??0??s?2??1?1???(s?1)????0???????1?(s?2)??0
?e?t????00??2t?e??(对角标准型也可直接写)
G(T)?eAT?e?T???0?0? ?2T?e??TTAtH(T)??e0Bdt??0?e?t??0??1?e?T?0??1?dt???2t????2T?e??1?????0.5?0.5e?
故被控对象的离散化状态方程为：
x[(k?1)T]?G(T)x(kT)?H(T)u(kT)
?x1[(k?1)T]??e?T????x[(k?1)T]?2???0?T0??x1(kT)??1?e????2T???2Tx(kT)]e??2????0.5?0.5e??u(kT) ??根据系统结构图，系统输入量为r(t)，输出为y(t)，而被控对象的输入
u(t)?r(t)?y(t)?r(t)?x1(t)?x2(t)，所以系统的离散化方程为：
?x1[(k?1)T]??e?T????x[(k?1)T]?2???0?T0??x1(kT)??1?e????2T???2Tx(kT)]e?????2?0.5?0.5e???r(kT)?x1(kT)?x2(kT)? ????x1(kT)??????x2(kT)]???T?x1[(k?1)T]??2e?1?????2T??0.5?0.5e?x2[(k?1)T]??1?e?T?2T0.5?0.5e?1?e?T???2T??0.5?0.5e??r(kT)??
系统输出方程为：
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y(kT)??1?x1(kT)??1????x2(kT)]?
令T?0.1秒，离散化状态方程为：
?x1[(k?1)T]??0.8097????x[(k?1)T]?2???0.0906?0.0952???0.0906??r(kT)?0.0952??x1(kT)????0.9094??x2(kT)]?
y(kT)??1?x1(kT)??1????x2(kT)]?
当输入为单位阶跃函数，初始条件为零时离散系统的输出为：
y(k)?CZ?1[(zI?G)?1Hu(z)]?Du(k)
y(k)?CZ?1[(zI?G)?1Hu(z)]可得。
k?1或与方法一一样，利用x(k)?一步一步地求。 3-2-12
?(k)x(0)???(k?j?0j?1)Hu(j)?0???线性时变系统的状态方程为x??05(1?e5e?5t?5t?5?)??x???u??0??，求采样周期T=0.2秒时，
系统的离散化方程。
【解】：
由于采样周期较小，可以采用近似离散化的方法。
?0G(kT)?TA(kT)?I?0.2???05(1?e5e?k?k)??1??????00??1???1???01?e1?e?k?k????
?5??1?H(kT)?TB(kT)?0.2??????0??0?
x((k?1)T))?x(0.2(k?1))?G(0.2k)x(0.2k)?H(0.2k)u(0.2k)?1x((k?1)0.2))????01?e1?e?k?k??1??x(0.2k)???u(0.2k)??0??
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