第三部分 现代控制理论习题详解 第二章 状态空间表达式的解
32(2z?1)??2X(z)??64z?64z?158?2??64z?64z?1532(2z?1)????2264z?64z?15z??1??64z?64z?15????32(2z?1)8??3??22?64z?64z?15???64z?64z?158??264z?64z?15?1??32(2z?1)??0264z?64z?15??80??U(z)1?
?32z(2z?1)?2??64z?64z?158z?2??64z?64z?1532(2z?1)????2264z?64z?15??1??64z?64z?15????32z(2z?1)8??3??22?64z?64z?15???64z?64z?158zTz???2???264z?64z?15?(z?1)??32(2z?1)z???2?T??64z?64z?15???(z?e)?8???)?????)???
1?z??(z?0.5)Tzz??2z8????35??35(z?1)235(z?e?T?z?z??(z?)(z?)(z?)(z?)88???8888???2zz1?????(z?0.5)Tzz35?8?z????z?35(z?1)235(z?e?T88???(z?)(z?)(z?)(z?)?8888?
=第一部分+第二部分
第二部分为：
32Tz32Tz1088Tz?32Tz???????3515(z?1)2259225z?1??z?z?88????0.5z0.5zz?????335535?T?T?T?T?T?(z?)(?e)(z?)(?e)8(z?e)(?e)(?e)???888888?32Tz?32Tz8Tz512Tz???????3515(z?1)2259225z?1??z?z???88???T(0.5?e)z0.5z0.5z???????335535?T?T?T?T?T(z?)(?e)(z?)(?e)(z?e)(?e)(?e)??888888??
x(kT)?Z[X(z)]
所以第一部分的Z反变换为：
3k?5k()?2()?88x1(kT)??53?()k?2()k8?8?????
所以第二部分的Z反变换为：
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????????32?0.5?3k?320.5?5k32???T?()?T?()?kT????352589815?T??T??????e?e??????88???????kT1088e??T????35225?T?T??8(?e)(?e)88??x2(kT)?????????32????0.53k320.55k8T?T?kT??????()???()?359815?T?8?T??25????e?e??????88???????T?kT(0.5?e)e?512??T??225?35?T?T(?e)(?e)??88??
x(kT)?x1(kT)?x2(kT)
y(kT)?Cx(kT)??11?x(kT)??1y(kT)????3?e?T??8???3?641k()?T???5?T?8?9?e??8????T?kT?5(0.625?e)e401600kkT?T??()?35815225?T?T?(?e)(?e)?88?
方法二：
利用递推算法求解差分方程组：
k?0
?1?x1[T]??2????1x[T]?2???81??8?x1(0)???11??x2(0)??0????2??10??u1(0)??2?????1??u2(0)]??1?81??8??1???11??3??0????2??1?0??0???8???????1??1??19??8?
y(0)??1?x1(0)???1?1?????11????2;?3??x2(0)]?y（T）??1?1????9?x1(T)?81?????11??19???x2(T)]???4?8?
特征方程为:
zI?A?(z?0.375)(z?0.625)?0
特征值为:
z1?0.375,z2?0.625??1P???11??1?。
0.5??0.5?，P?1??0.5???0.5
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?0.375?(k)?P???0k00.625k??1?P ??k?0.5?0.375k?0.5?0.625k?(k)??kk??0.5?0.375?0.5?0.625??0.5?0.3750.5?0.375k-1?0.5?0.625?0.5?0.625kkk????
利用x(k)?得：
?(k)x(0)???(k-j-1)Hu(j)j?0
?-0.1250?x(T)????2.3750??15/64+Tx(2T)??-T?75/64+e
?? ?
-T??135/512+5/2*T+1/8*ex(3T)??-T-2T??315/512+1/8*T+1/2*e+e???
-T-2T??855/4096+273/64*T+1/8*e+1/8*ex(4T)??-T-2T-3T?+e?1395/4096+3/8*T+17/64*e+1/2*e???
x(5T)?? ?x1(kT)?y(kT)??11????x2(kT)]?
y(T)?2.25
-Ty(2T)?90/64+T+e
-Ty(3T)?450/512+2.625T+0.625e-T+e-2T
-2Ty(4T)?2250/4096+4.6406T+0.3906e+0.625e?e-3T
y(5T)??
3-2-10 已知连续系统的状态方程为：
?x1[(k?1)T]??1???x[(k?1)T]?0?2????x3[(k?1)T]?????10210??x1(kT)??1?????2?x2(kT)??0u(kT) ?????x(kT)?0??3??????1??
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?x1(0)??1?系统的初始状态为?x2(0)???0?????x(0)???3??2? 试求当控制序列为u(kT)?2kT(T?1秒)时离散系统的状态x(kT)。
【解】：
利用递推算法求解差分方程组：
?1??0????10210???2?0??k?(k)?Gk
?(1)?G1?1??0????10210???2?0??，?(2)?G2?1??2????10220???4??2??
?(3)?G3?1??6???10020??1??4?4，?(4)?G?10????4???50?400??0??4??
?1???x(1)??(1)x(0)??(0)Hu(0)??4?????1??
?3???x(2)??(2)x(0)??(1)Hu(0)??(0)Hu(1)??6?????7??
?7???x(3)??(3)x(0)??(2)Hu(0)??(1)Hu(1)??(0)Hu(2)?2?????13??
?13???x(4)??(4)x(0)??(3)Hu(0)??(2)Hu(1)??(1)Hu(2)??(0)Hu(3)?30?????11??
x(5)??
3-2-11 已知离散系统的结构图如题3-2-11图所示，
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r(t)T1?es?Ts1(s?1)(s?2)c(t)
题3-2-11图
(1)求系统离散化的状态空间表达式；
(2)当采样周期T?0.1秒时，输入为单位阶跃函数，且初始条件为零时离散系统的输出y(kT)。 【解】：
方法一：
①依据方框图求闭环脉冲传递函数：
1???1G开(z)?（1?z）Z???s（s?1）（s?2）?10.5??0.5?1G开(z)?（1?z）Z???s?1s?2??s?
)G开(z)?（1?z）(G开(z)?（z?1）(?10.5zz?1?zz?e1z?e?T?T?0.5zz?e0.5z?e?2T?2T
0.5z?1??)
?T2?T?T2G开(z)0.5(1?e)z?0.5e(1?e)C（z）??2?T?2T?T?T?2TR（z）1?G开(z)z?0.5(1?4e?e)z?0.5e(1?2e?3e)
0?x1[(k?1)T]???????T?T?2T?3e)?x2[(k?1)T]???0.5e(1?2e1?0.5(1?4e?T?e?2T??x1(kT)??0?????r(kT)??)??x2(kT)??1?y(kT)?0.5e??T(1?e?T)20.5(1?e?T)2x???x)???2(kT)?1(kT
当采样周期T?0.1秒时
G开(z)C（z）0.0046z?0.0041??2R（z）1?G开(z)z?1.7190z?0.7448
②依据闭环脉冲传递函数写出状态空间表达式：
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