第三部分 现代控制理论习题详解 第二章 状态空间表达式的解
??2tet?e2t? ??2et?3tet?2e2t??et?tet?e2t??????2
eAt?a0I?a1A?a2A?et???0?0?0ett2t
?e?e0??0?2te??
(4)
?et?x(t)??(t)x(0)??0?0?0ett2tt0??1??e????0?0??0??2t??1??e2te?????e?e?????
3-2-3 试判断下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求对应的矩阵A。
?10（1）?(t)?????00sint?cost0??cost?sint???1（2）?(t)???0?0.5(1?ee?2t?2t)????
?2e?t?e?2t（3）?(t)???t?2t??e?e?2e?e?t?2e?2e?2t?t?2t?????0.5e?t?0.5e3t（4）?(t)???t3t???e?e?0.25e0.5e?t?0.25e?0.5e3t3t?t????
【解】： （1）
?1???(0)?0???00sint?cost0??cost?sint???1??0???000?10??1?I?0??
t?0∴不满足状态转移矩阵的条件。
（2）
?1??(0)????00.5(1?ee?2t?2t?1)??????0?t?00???I1?
∴满足状态转移矩阵的条件。
?(t)?由??(0)?A?(0)?AA?(t)，得?。
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??(t)?0∴????0?,?2t??2e??e?2t???(0)?0A?????0??0????2t?2e??0?t?0e?2t1???2?
（3）
?2e?t?e?2t??(0)???t?2t?e?e??2e?e?t?2e?2e?2t?t?2t??I??t?0?
∴满足状态转移矩阵的条件。
??2e?t?2e?2t?A??(0)???t?2t???e?2e2ee?t?4e?4e?2t?t?2t??0?????1?t?0?2???3?
（4）
?0.5e?t?0.5e3t??(0)???t3t???e?e?0.25e0.5e?t?0.25e?0.5e3t3t?t??I???t?0
∴满足状态转移矩阵的条件。
??0.5e?t?1.5e3t?A??(0)???t3te?3e??0.25e?t?0.75e?1.5e3t?0.5e?t3t??1????t?0?4?1??1?
?3-2-4 已知线性时变系统为x??2t???11??x?2t?，试求系统的状态转移矩阵。
【解】：
取A(t1)??2t1???1t1??,?2t1???2t2A(t2)???1??,?2t2?1得：A(t1)*A(t2)?A(t2)*A(t1)
?(t,t0)?e?t0A(?)d??I??tt0??2???11?1?d???2??2!?tt0??2???11??d????2??22
231?2231?(t?t)?(t?t)?(t?t0)??00?32?(t,t0)??22?t?t0?t0?t???t?t0?t0?t1?(t0?t)?2223(t3???13?t0)?(t?t0)???2?2??
?3-2-5 已知线性定常系统的状态方程为x?0????21??0??x???u?3??1?，初始条件为x(0)?1??????1?试
求输入为单位阶跃函数时系统状态方程的解。 【解】：
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?(t)?L[(sI?A)s?3??(s?1)(s?2)?1?(t)?L?2????(s?1)(s?2)1?1?1]
???2e?t?e?2t(s?1)(s?2)????t?2ts????2e?2e(s?1)(s?2)???1e?e?t?t?e?2t?2t?2e????
x(t)??(t)x(0)?A?0.5?0.5e?2t[I??(t)]B???2t?e???0????5????
?3-2-6 已知线性定常系统的状态空间表达式为x1??2??x???u,?6??0?y??12?x，已知
状态的初始条件为x(0)【解】：
?0?????1?，输入量为u(t)?e?t(t?0)，试求系统的输出响应。
1?5t?5?te?e?4?1?14?(t)?L[(sI?A)]??55??e?t?e?5t4?4t1?41e?t?4e?t??45?5t???e4?e?5t1
y(t)?c?(t)x(0)??c?(t??)Bu(?)d?
0??11?5t?5?t?4e?4e2??55??e?t?e?5t4?41?1?41e?t?4e?t???0?45?5t??1?????e4?e?5t1
t???101?5(t??)?5?(t??)e?e?442??55??e?(t??)?e?5(t??)4?441e?(t??)?4e?(t??)???2???4ed?5?5(t??)??0?????e4?e?5(t??)19?5t??1?t???e?e??44??t??10?5?(t??)1?5(t??)??e?2e???22??ed?5?(t??)5?5(t??)???e??e2?2?
?1?t9?5t????e?e??4?4?t?0(?52e?t?92e?5t?4?)d???52te?t?78e?t?98e?5t(t?0)
??Ax(t)，已知当x(0)3-2-7线性定常系统的齐次方程为x?1??????2?时，状态方程的解为
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?e?2t?x(t)???2t??2e????；而当
?1?x(0)?????1??e?t?时，状态方程的解为x(t)???t????e??，试求：
(1)系统的状态转移矩阵?(t)； (2)系统的系数矩阵A。 【解】：
x(t)??(t)x(0)
?????x1(t)???11????x(t)?2???21?12??x1(0)??22??x2(0)??e?t??t???e
??e?2t??2t???2e???11???????21?12??1??22???;?2??????11???????21?12??1??22???1????
?11?2?12?e?2t，?21?2?22??2e?2t ，?21??22??e?t
e?e?t?t?11??12?e??11?(t)????21?t?12??22?2e?t?e?2t????t?2t??2e?2e???0????2?e?2t?2t?2e????
?(t)A???3-2-8 已知线性时变系统为x?0???01??x,t?t?01???3?
?1?x(0)?????1?，试求系统状态方程的解。
【解】：
对任意时间t1和t2有A(t1)??0??01??,t1??0A(t2)???01??t2?
得：A(t1)*A(t2)?A(t2)*A(t1) 所以有
tt1?12?(t,0)?I??A(?)d???A(?)?A(?000)d?2d?1??
?1???00??0???1??0?t??0??2?0.5t??0?12?t?2??13?t?6?
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?t??0??2?0.5t??0?12?t?2??)?13?t?6??1x(t)??(t,0)x(0)?(??00??0???1??0?1?????1?
??1x(t)???0???2?13?21?0.5t?t??6?t?t?2112??1?t?t???1??2?????1??1???(1?0.5t2?t3?)?6??
3-2-9 已知线性定常离散系统的状态空间表达式为
?1?x1[(k?1)T]??2????1x[(k?1)T]?2???8y(kT)??11?8??x1(kT)???11??x(kT)]??0????22?0??u1(kT)????1??u2(kT)]? ?x1(kT)?1???,x(kT)]?2??x1(0)???1??????x(0)?2??3?若u1(kT)与u2(kT)为同步采样时，且u1(kT)是来自斜坡函数t的采样，即u1(t)?t，u2(kT)是来自指数函数u2(t)?e?t的采样。试求系统的输出响应y（KT）。 【解】：
方法一：
利用Z变换的方法求解：
?1?G??21??8Z[u1(t)]?Z(t)?1?8?,1??2?Tz(z?1)2?1H???00??,1?C??11?
,Z[u2(t)]?Z(e?t)?z(z?e?T)
Tz???2?(z?1)?U(z)??z???(z?e?T)???
X(z)?(zI?G)?1zx(0)?(zI?G)?1HU(z)
?1?z?0.5X(z)????0.125?0.125??z?0.5??1??1??z?0.5z?????3???0.125?0.125??z?0.5?HU(z) 28