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练习三
1. 如图所示，两导线中的电流I1和I2均为8A，对图中所示的三条闭合曲线a、b、c， （1） 分别写出安培环路定理表达式；
（2） 在各条闭合曲线上，各点的磁感应强度的大小是否相等？ （3） 在闭合曲线c上各点磁感应强度的大小是
否为零？
解：
（1）
??B?dl??0I1?8?0
caI1??????bbI2a??B?dl??0I2?8?0 ??B?dl??0(I2?I1)?0
c（2） 不相等； （3） 不为零。
2. 两根导线沿半径方向被引到铁环上A，C两点，电流方向如图所示。求环中心O处的磁感应强度是多少？
解：两根长直电流在圆心处的磁场均为零。I1在圆心处的磁场为 1 ?Il?IlB1?011?0121，方向垂直纸面向外；
2r2πr4πrI2在圆心处的磁场为
I A 2 C I B2??0I2l22r2πr??0I2l24πr2o ， 方向垂直纸面向里；
由于l1和l2的电阻与其长度成正比，于是
I1I2R1l1??因此，B1和B2大小相等，方向相反，因而圆心处的合磁场为零。
?R2?l2， 即：I1l1?I2l2
3. 如图所示，两无限大平行平面上都有均匀分布的电流，设其单位宽度上的电流分别为i1和i2，且方向相同。求：
（１） 两平面之间任一点的磁感应强度； （２） 两平面之外任一点的磁感应强度； （３） i1?i2?i时，结果又如何？ 解：如图将空间分成三个区域1、2、3
B?12123?0i
i1i2?????（1）两平面之间：B2?Bi1?Bi2 Bi1与Bi2方向相反
B2?12?0(i1?i2)，方向：垂直纸面向里
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??（2）两平面之外：Bi1与Bi2方向相同。
B1?B3?12???0(i1?i2)，方向：B1垂直纸面向外；B3垂直纸面向里
（3）B2?0；B1?B3??0i
4. 矩形截面的螺绕环，尺寸如图所示。 （１） 求环内磁感应强度的分布；
（２） 证明通过螺绕环截面（图中阴影区）的磁通量，???0匝数，I为其中电流强度。
解： （1）
IINIh2?lnD1D2 式中N为螺绕环总
??L??B?dl??0?I内
B?2?r??0NI
B??0NI2?r
D12D22（2） ???S??B?dS???0NI2?r?hdr
D2h??0NIh2?lnD1D2
D1
5. 一根很长的同轴电缆，由一导体圆柱（半径为a）和一同轴导体圆管（内外半径分别为b、c）构成，使用时，电流I从一导体流出，从另一导体流回。设电流都是均匀分布在导体的横截面上，如图所示。求
（1） 导体柱内 ( r < a )； （2） 两导体之间 ( a < r < b ) ； （3） 导体圆管内 ( b < r < c ) ；
（4） 电缆外 ( r > c ) 各点处磁感应强度的大小，并画
出B — r曲线。
???0B?2?r???IB??I内 B?dl???I解： ?， ， 0内0内?L2?r（1） 0?r?a：B?（2） a?r?b：B?（3） b?r?c：
?0?0I2?rI2II2?r?a?r?2?0Ir2?a2
B?0I2?a
?0I2?b222?0Ic?rI?(r?b)?B?I?? ??22222?r??(c?b)?2?rc?b（4） r?c： B?0；
O?0?2abcr大学物理下作业 学号 姓名 序号
6. 一根外半径为R1的无限长圆柱形导体管，管内空心部分的半径为R2，空心部分的轴与圆柱的轴相平行但不重合，两轴间距离为a，且a >R2。现在电流I沿导体管流动，电流均匀分布在管的横截面上，而电流方向与管的轴线平行，如图所示，求： （1） 圆柱轴线上的磁感应强度的大小； （2） 空心部分轴线上的磁感应强度的大小；
????解：（1） Bo?B1?B2?B2
设R1=10mm, R2=0.5mm, a =5.0mm, I =20 A.
O空心部分 IBo??02?a??R2?R22222?02?a?(R1?R2)?2?10?7?3?I22??R2
2222?aR1?R25.0?10????（2） Bo??B1?B2?B1
??0I??20??0.5?2??10?0.5??2.0?10?6(T)
Bo???02?a??a??722?02?a?(R1?R2)?3?I22??a?2?0Ia2?a(R1?R2)22
?2?10?20?5.0?10?0.52?10??10?6?2.0?10?4(T)
7. 在一对平行圆形极板组成的电容器（电容C＝1×10－12F）上，加上频率为50Hz，峰值为1.74×105V的交变电压，计算极板间的位移电流的最大值。 解：极板间的电通量为
?e?ES??S/?0?Q/?0?CU/?0
Id??0d?edt?CdUdt
?12Id,max?2π?CUmax?2π?50?1?10?1.74?105?5.5?10?5A
8. 试证明平行板电容器中位移电流可写为Id?Cdu/dt?dq0/dt，忽略边缘效应，式中C是电容器的电容，u是两极板电压。 解： ? C?而 ?0?q0Uq0S， ?q0?CU ?CUS， D??0
?S?CdUdt?d(CU)dt?dq0dt?Id?
?D?t?S?C?US?t
9. 为了在一个1μF的电容器中产生由1A的瞬时位移电流，加在电容器上的电压变化率为多大？ 解： ? Id?Cdudt， ?
dudt?IdC?1.00?10V/s
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练习四
?2１． 如图所示，电流I ＝7.0 A，通过半径R?5.0?10m的铅丝环，铅丝的截面积
S?7.0?10?72m，放在B ＝1.0 T的均匀磁场中，求铅丝中的张力及由此引起的拉应力(即单位
面积上的张力)。 解： 铅丝受到的合力为0
但环上各处都受到沿法向的磁场力 铅丝中的张力：
F?2BIR2FS?1.0?7.0?5.0?10?2y?I?0.35(N)
??R????O??????B???x单位面积上的张力： ???0.357.0?10?7?????5.0?10(Pa)
5?
２． 如图所示，在长直导线AB内通有电流I1，有限长导线CD中通有电流I2，AB与CD共面且垂直，求：
（１） 长直导线AB在空间的磁场分布； （２） CD受到AB的磁力； （３） 若CD自由，则将如何运动？ 解： （1）
??B?dl??0I1
BA?FCdI1I2Dl??LB?2?r??0I1 B??0I1?（2） F??L2?r??I2dl?B，方向如图所示；
大小：F??d?ldI2?0I12?rdr??0I1I22?lnd?ld
（3） 向上加速运动的同时，顺时针转动到与AB平行后向右运动；
３． 将一均匀分布着电流的无限大载流平面放入均匀磁场中，电流方向与此磁场垂直。已知平面两
??侧的磁感应强度分别为B1和B2（如图所示），求该载流平面单位面积所受的磁场力的大小和方向。
解：载流平面在其两侧产生的磁场
B1i?B2i???0i2，方向相反
均匀外磁场B0在平面两侧方向相同
?由图所示可知：B2?B1，i的方向为垂直纸面向里。
B1?B0?B1i, B2?B0?B2i
?B1?B2大学物理下作业 学号 姓名 序号
由此可得： B0?(B1?B2)/2, B1i?B2i?(B2?B1)/2
i?2B1i?0?B2?B1?0
22（B2?B1）载流平面单位面积受的力为： F?iB0?
2?0?方向垂直载流平面指向B1一侧。
４． 横截面积S?2.0mm2的铜线，弯成U形，其中OA和DO?两段保持水平方向不动，ABCD段
?是边长为a的正方形的三边，U形部分可绕OO?轴转动。如图所示，整个导线放在匀强磁场B中，?3?3B的方向竖直向上。已知铜的密度??8.9?10kg?m，当这铜线中的电流I =10 A时，在平衡情况下，AB段和CD段与竖直方向的夹角为??15?。求磁感应强度的大小B。 解：重力矩
M1?2a?gS?212OAasin??a?gSasin?
IB?BDO??2Sa?gsin??磁力矩 M2?Ia2Bsin????2????IaBcos? 2??IC2平衡时 M1?M2， 2Sa2?gsin??IaBcos?
B?2S?gItan??2?2.0?10?6?8.9?10?9.8103?tan15??9.3?10?3(T)
５． 如图所示，一平面塑料圆盘，半径为R，表面带有面密度为?的剩余电荷。假定圆盘绕其轴线
AA?以角速度?转动，磁场B的方向垂直于转轴AA?，证明磁场作用于圆盘的力矩大小为：
M????RB44
A?B解： 取半径为r?r?dr的圆环，则此圆环所带电荷为：
dq???2?rdr dI?r?2?Rdq
A?2dm?SdI??r?dM?Bsin?2?dq????rdr
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