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5. 如图所示，一均匀磁场被限制在半径R = 20 cm的无限长圆柱形空间内，磁场以
dB/dt?(4/?)T?s?1的恒定速率增加。问图中线框abcda的感生电流是多少？已知线框的电阻
R?4.0?,???/6,oa?ob?10cm,oc?od?30cm。
解：
?i?S?Ii?cdBdt??2(R?Oa)22dBdt?????1?422??(0.20?0.10)??0.01(V)26?
??ROb????????iR?0.014.0?2.5?10?3(A)
?B????a方向：逆时针
d6. 一电子在电子感应加速器中半径为1.0 m的轨道作圆周运动，如果电子每转一周动能增加700 eV，计算轨道内磁通量的变化率解：
d?dtd?dt??i， e?i??Ek ??Eke?700eVe?700(V) d?dt。
7. 在半径为R的圆筒内，有方向与轴线平行的均匀磁场B，以1.0?10?2T?s?1的速率减小，a、b、c各点离轴线的距离均为r = 5.0 cm，试问 (1)． 电子在各点处可获得多大的加速度？ (2)． 加速度的方向如何？
(3)． 如果电子处在圆筒的轴线上，它的加速度又是多大？ 解： （1）
Ek??rdB2dteEkm?0
??2?????a?????RO??5.0?102?Bc?????(?1.0?10)?2.5?10?2?4(Vm)? a?fm???1.6?109.1?10?19?31b??2.5?10?4?4.4?10(ms)
72（2） 方向：a 点向左，b点向右，c点向上 （3） a
r?0大学物理下作业 学号 姓名 序号
8. 在两根通有反向电流I的平行长直导线的平面内，有一矩形线圈放置如图所示，若导线中电流随时间的变化率为dI/dt?K（大于零的恒量）。试计算线圈中的感生电动势。 解：???2??1??a?da??0I2πr?ldr??b?d?0I2πrb?ldr
d?0Il?d?dt?ln2π??a?da??lnb?d?? b?a?da?lnb?d?? b?IIbal?i????0ldI?2πa?da?lndt??ln?0lK?2π?ln?b?d?? b?方向如图（逆时针）。
9. 在电子感应加速器中，要保持电子在半径一定的轨道环内运行，轨道环内的磁场B应该等于环围绕的面积中B的平均值B的一半，试证明之。 解：电子沿半径为R的一定轨道运动时，其运动方程为
eE?meat?medvdt (1)
2evB?mean?mevR (2)
dvdt?eRme由(2)式得 eB?mev/R（其中B为环内磁场），而代入(1)式可得
dBdt?ER，
d??πR2又由于感应电场 E?代入上式，即可得
1dB2?Rdt2πRdt?RdB2dt（B为环围绕的面积内的磁场的平均值）
dBdtB2?1dB2dt
由此可得 B?
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练习八
1．一圆环形线圈a由50匝细线绕成，截面积为4.0cm2，放在另一个匝数等于100匝，半径为20.0cm的圆环形线圈b的中心，两线圈同轴。求： （1）两线圈的互感系数；
（2）当线圈a中的电流以50A/s的变化率减少时，线圈b内磁通量的变化率； （3）线圈b的感生电动势。
解：（1）线圈b通电流Ib时，由于线圈a的半径较线圈b的半径甚小，所以可近似求得线圈a通过的
磁链为
?ab?Nb?0Ib2RbNaSa
由此得两线圈的互感系数为
M?（2）
d?badt??abIb??0NaNb2RbSa?4π?10?7?50?100?4.0?102?0.2?4?6.3?10?6?6H
1d?baNbdt?1NbMdiadt?6?1100?6.3?10?6?(?50)??3.1?10Wb/s
（3）?ba??Mdiadt??6.3?10?(?50)?3.1?10?4V
2． 一长直螺线管的导线中通入10.0A的恒定电流时，通过每匝线圈的磁通量是20μWb；当电流以4.0A/s的速率变化时，产生的自感电动势为3.2mV。求此螺线管的自感系数与总匝数。 解： L??/didt?3.2?10?3/4.0?0.8?10?3H
又 L?N?/I 所以 N?LI/??0.8?10?3?10.0/(20?10?6)?400（匝）
3. 一截面为长方形的环式螺绕环，共有N匝，其尺寸如图所示。 （１） 证明：此螺绕环的自感系数为：
L?2??Nh2?lnba
（２） 沿环的轴线拉一根直导线。求直导线与螺绕环的互感系数M12和M21，二者是否相等？ 解：（1）设螺绕环通有电流I，
则有： H?NI2πr， B?ba?0NI2πrh
ba???I??B?dS????0NI2πr2?hdr??0NIh2πlnba
L???N?I?0Nh2πlnba
（2）直导线可以认为在无限远处闭合，匝数为1。螺绕环通过电流I1时，通过螺绕环截面的磁
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通量也就是通过直导线回路的磁通量。因此
M21??21I1??1I1??0NI1h2πlnba/I1??0Nh2πlnR2R1
当直导线通有电流I2时，其周围的磁场为
B2??0I2/(2πr)
通过螺绕环截面积的磁通量为
b?12?M12??B2hdr?a?0I2h2π?b?adrr??0I2h2πbalnba
?12I2?N?12I2?0Nh2πln
比较这两个结果 M12?M21
4. 一螺绕环，横截面的半径为a ，中心线的半径为R ，R >> a ，其上由表面绝缘的导线均匀地密绕两个线圈，一个匝N1，另一个匝N2。求：
(1) 两线圈的自感L1和L2； (2) 两线圈的互感M ； (3) M与L1和L2的关系。
2??11?B1??a??0解：(1) 设I1 ， 则 B1??0n1I1??N12?RI1??a
2L1?N1?11I1??0N122?R???a?2?0N1a2R??a?222
?0N2a2R?22同理可得：L2???21??0 (2) I1??N2?22I2N12R?0N22?R2
2I1a???M21?2N2?21I1?0N1N2a2R?M
(3) M2?L1L2
5. 一无限长导线通以电流I?I0sin?t，紧靠直导线有一矩形线框，线框与直导线处在同一平面内，如图所示，求：
(1) 直导线和线框的互感系数； (2) 线框中的感应电动势。 解：(1) 设直导线中通有电流 I1 ，则
?21?II?I0sin?t???B?dS?3a?2a2?0I12?r?adr??0I1a2?ln3
aM21?N2?21I1?1?dI1dt?0I1a2?I12?ln3??0a2?ln3
a232a(2) ?21??M21???0aln3?I0?cos?t
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练习九
１． 氢原子中电子在一圆轨道上运动，问这轨道中心处磁场能量密度有多大？玻尔氢原子模型中电
子的轨道半径为5.1?10?11m，频率f等于6.8?105Hz。 解：等效电流：I?ef
B??0I2R?2?0ef2R
wm??B2?0?12?0?7?0ef2R2222222??38?0ef8R22224??10?1.6?10(J?m?3?6.8?10108?5.1?10?13?22
?7.15?10)
２． 一长直的铜导线截面半径为5.5mm，通有电流20A。求导线外表面处的电场能量密度和磁场能
量密度各是多少？铜的电阻率为1.69?10-8??m。 解：外表面处的
E?????I/(?R)，H?2I2πR，
?12we??02E2??0(?I)2(πR)222 ?8.85?10?(1.69?10?3?82?20)222?[π?(5.5?104π?102?7)]?5.6?10?17J/m
3wm??0H22??02(I2πR)?2?202?32?4π?(5.5?10)2?0.21J/m
3
３． 在一个回路中接有三个容量均为30?F的电容器，回路面积为100cm2，一个均匀磁场垂直穿过
回路平面，如图所示，若磁场的大小以每秒5特斯拉(5T?sC03?1）的速率随时间而均匀增加，求每
个电容器上的电量为多少？并标出每个电容器极板的极性。 解： C??i?S
?100?10?4C0?5?5?10?2dBdt(V)
?????????????q0?q?C?i?303?10?6?5?10?2?5.0?10?7(C)
C0??B???C0