第三章 相对增益矩阵（RGA）的计算
相对增益矩阵：
在多变量过程控制系统中，虽然变量间相互关联，然而总有一个控制量对某一被控制量的影响是最基本的，对其他被控量的影响是次要的，这就是控制变量于被控变量之间搭配的关系，也就是常说的变量配对。
一个系统中可以有不同的变量配对关系。适当的选择变量间的配对关系，有可能削弱各通道间的关联（耦合）程度，以致不必在进行解耦。
在多变量系统中，如何合理的选择输出变量（被控量）于输入变量（控制量）间的配对关系，并却定各系统之间的耦合程度，是确定多变量系统是否需要解耦设计的关键问题。相对增益的概念正是为解决上述问题而提出的。
相对增益是用来衡量一个选定的控制量与其配对的被控量间相互影响大小的尺度。因为它是相对于系统中其他控制量对该被控量的影响来说的，故称其为相对增益。
Bristol（1996）提出了一种分析多变量过程控制问题的系统方法，该方法仅需稳态信息（过程增益矩阵）和以下两个重要信息：
1． 过程耦合度的测量。
2． 被控量和操作量之间的最有效配对方法的推荐。
Bristol的方法基于相对增益。对于一个n个被控量和n个操作量的过程。被控量 和 操作量之间的相对增益 可以定义
??yi???u?j?u开环增益? ?ij? (1) ?闭环增益??yi???u?j?y?其中，i=1，2，…，n, j=1,2,…,n,
为了方便可以把相对增益排成相对增益矩阵（relative gain array，简称RGA）用Λ来表示：
U11U2?Uny1??11?y2????21????yn??n1?12?22??n2??1n???2n?? (2) ??????nm?RGA相对于稳态过程模型有几个重要的性质：
1.它是标准化的，因为矩阵的每行或每列上元素总和都是1. 2.相对增益是无量纲的，故与所选变量的单位或尺度无关。 3.RGA 是对增益矩阵K中元素不确定性敏感度的一种度量。 相对增益矩阵的计算：
相对增益可以很容易的由稳态数据或过程模型得到。对于一个已知稳态模型的2×2过程，可以用如下变量增量来表达：
y=K11u1+K12u2y2=K21u1+K22u2 (3),(4)
其中，是 和 之间的稳态增益。此模型也可用更简洁的矩阵形式来表达： y=Ku （5）
对于一个稳态过程，（5）式中的稳态增益模型可如此求出： K?GP?0??由（1）和（3）式可知：
由式（4）可求出 ：
limGP?s? （6） s?0u2??K21 u1K22 (7)
再将其带入式（）
?K12K21? y1?K11??1?KK??u11122?? (8)
然后有：????y1??K12K21???? ?K11?1????K11K22? (9)??u1?y2把式（）和（）代入式（），即可得到一个相对增益：
?11?1
K12K211?K11K22 (10)
又因为（）式中的每行每列的总和均为1，所以在2×2系统里，其他相对增益?很容易从?11得到：
?12??21?1??11?22??11
(11)
因此，2×2的RGA可以表示为：
??1??? ?????? (12)?1??在这里需要值得注意的是2×2过程的RGA总是对称的。
蒸馏塔模型的RGA矩阵计算：
此次所控制的蒸馏塔模型是一个二元蒸馏塔，控制量为回流量和再沸的蒸汽量（R和S）,B被控量是蒸馏塔塔顶成分和塔底成分（XD和XB） 蒸馏塔模型：
?12.8e?s?XD?S???16.7s?1?X?X????6.6e?7s?B????10.9s?1?18.9e?3s??21.0s?1??R?S??
??19.4e?3s???S?S??14.4s?1??使S?0求得模型的稳态矩阵K为：
?12.8?18.9? K????6.6?19.4?所以，他的相对增益?11?11??2
K21K126.6???18.9?1?1?12.8???19.4?K11K22由上式可得模型的RGA（相对增益矩阵）：
?2?1? ??????12?在这里要注意的是被控量和操作量的配对要是相应的相对增益是正的，而且尽可能的为1.根据以上可知蒸馏塔模型的配对方式为1?12?2。
前馈—反馈复合系统：
所谓前馈，它是与反馈控制相对而言的。反馈控制是在系统受到扰动，被控量发生偏差再进行控制，而前馈控制的思想就是根据进入过程的扰动量（包括外界扰动和设定值变化），产生合适的控制作用，使被控量不发生偏差。
下面两图给出了简化的前馈控制和反馈控制方框图：
前馈控制器 过程
前馈控制回路
反馈控制器 过程
反馈控制回路 前馈控制有一些不足之处，如下面所示的3点：
1. 干扰变量必须能够在线测量，有很多情况下这是不可能的。
2. 为了有效使用前馈控制，至少需要有一个近似的过程模型，特别是需要
知道干扰变量和操作变量如何影响被控变量。前馈控制的效果取决于过程模型的准确度。
3. 理想的额前馈控制器在理论上可以实现理想控制，但可能是难以物理实
现的。幸运的是这些理想的控制器的近似实现常常能够提供有效的控制。 前馈控制在20世纪60年代之后才获得广泛的应用。从那时起，它便被广泛的应用于各类过程中，包括锅炉、蒸发器、固体干燥器、直燃炉和废品处理厂。但是其基本概念的产生更早一些。
前馈控制属于开环控制，所以单纯的前馈控制方案一般不宜采用。在实际的生产过程中，往往同时存在着若干扰动。若全部采用前馈控制，则需对每一个扰动都要使用一套测量变松仪表和一个前馈控制器，这将使得系统变得庞大而复杂，更不用说有一些扰动还无法在线测量，这些因素均限制了前馈控制的应用范围。
为了解决前馈控制的上述局限性，工程上将前馈和反馈结合起来。这样，既发挥了前馈作用可及时克服主要扰动对对被控量影响的优点，又保持了反馈控制能克服多个扰动影响的长处，同时也减低了系统对前馈补偿器的要求，使其在工程上更易于实现，这种前馈-反馈符合控制系统在过程控制中已被广泛的使用，相应系统的方框图如下图所示：
Wff(s) Wd?s? Wc?s? Wv?s? W0?s? Wm?s?
PID算法研究及参数整定：
比例—积分—微分PID（）是一种应用广泛的经典控制理论。在生产过程自动控制的发展历史中，PID控制是历史最久、生命力最强的基本控制方式。随后，随着科学技术的发展，特别是电子计算机的诞生和发展，涌现出许多先进的控制策略，然而直到现在，然而直到现在，PID控制仍然得到广泛应用。总结起来,该算法具有如下优点：
（1）单，使用方便。PID控制是由P、I、D三个环节组合而成，其基本组成理比较简单，很容易理解它，参数的物理意义也比较明确。
（2）适应性强。可以广泛应用于化工、热工、冶金、炼油、造纸、建材等各种生产场合。按PID控制进行工作的自动调节器早已商品化，在具体实现上经历了机械式、液动式、气动式、电子式等发展阶段，但始终没有脱离PID控制的范畴。即使目前最先进的过程控制系统，其基本控制算法也仍是PID控制。 （3）鲁棒性强，即其控制品质对被控对象特性的变化不大敏感。
由于具有这些优点，在过程控制中，人们首先想到的总是PID控制。大型现代化生产装置的控制回路可能达到一二百路甚至更多，其中绝大数都采用PID控制。例外的有两种：一种是被控对象易于控制而控制要求又不高时，可以采用更简单的开关控制方式；另一种是被控对象特别难控制而控制要求又特别高时，如果用PID控制难以达到生产要求，就要考虑采用更先进的控制策略。
PID调节器分为模拟式和数字式。前者采用运算放大器、阻容元器件等模拟电路构成，早期使用广泛，如DDZ—III型PID调节器。随着微处理器的发展，采用单片微型计算机的数字式PID调节器应用越来越广泛。 PID的调节原理：
PID控制就是根据系统误差，利用比例、积分、微分计算出控制量进行控制的。
积分（I）型控制 在积分控制中，控制系统的输出与输入误差信号的积分成正比关系。对于一个控制系统，如果在进入稳态后存在稳态误差，则称这个控制系统是有稳态误差