练习六
1.在6.1节捕鱼模型中,如果渔场鱼量的自然增长仍服从Logistic规律,而单位时间捕捞量为常数h. (1)
分别就h>rN/4,h 方程的平衡点及其稳定状况. (2) 如何获得最大持续产量,其结果与6.1节的产量模型有何 不同. 2.与Logistic模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz模型:x(t)=rxln.N,其中r和N的意义与Ligistic模型相同.设渔场鱼量x的自然增长服从这个模型,且单位时间捕捞量为h=Ex.讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性,求最大持续产量hm及获得最大产量的捕捞强度 *. Em和渔场鱼量水平x03.在6.3节种群竞争模型中设?1?2?1(?1??2),求平衡点并分析其稳定性. 4.对于6.3节种群竞争模型的第3种情况:?1<1, ?2<1(图4-3),分析相轨线的趋势并画出示意图,解释平衡点P3稳定的意义. 16 练习七 1.对于7.1节蛛网模型模型讨论下列问题: (1)因为一个时段上市的商品不能立即售完,其数量也会影响下一时段的价格,所以第k+1时段的价格yk?1由第k+1和第k时段的数量xk?1和xk决定.如果仍设xk?1仍只取决于yk,给出稳定平衡的条件,并与7.1节的结果进行比较. (2)若除了yk?1由xk?1和xk决定之外,xk?1也由前两个时段的价格yk和 yk?1确定.试分析稳定平衡的条件是否还会放宽. 2.验证阻滞增长模型(7.3)节的(15)-(18)式. 3.用计算机解阻滞增长模型(7.3节方程(6)).比如令b从1.8逐渐增加,考查序列xk收敛、2倍周期收敛、4倍周期收敛?，直至一片混乱的情况。试以b为横坐标，收敛点为纵坐标作图（与7.3节图形比较）. 4.举出几个差分形式阻滞增长模型的应用实例. 5.在7.4节按年龄分组的种群增长模型中,设一群动物最高年龄为15岁,每时每5岁一组,分成3个年龄组,各组的繁殖率为 b1?0,b2?4,b3?3,存活率为s1?1/2,s2?1/4,开始时3组各有1000只. 求15年后各组分别有多少只,以及时间充分长以后种群的增长率(即固有增长率)和按年龄组的分布. 6.在7.4节按年龄分组的种群增长模型中,证明当时间充分长以后若总和繁殖率R>1,则种群增长,若R<1则种群减少. 17 习题八 1．证明8.1节层次分析模型中定义的n阶不一致阵A有下列性质： （1）A的秩为1，唯一非零特征根为n； （2）A的任一列向量都是对应于n的特征向量 w?i,2.对于n阶成对比较阵A?(aij)，设aij?wj?ij?1??ij,其中 ij?ij表示aij在一致性附近的扰w?(w1,w2,?,wn)T是对应于最大特征向量， 动。若?ij为方差?2的随机变量，证明一致性指标CI??2 23.证明8.1节中用对数最小二乘法得到的权向量（（16）式）与实用算法中根法的计算结果相同。 4.用层次分析法解决一两个实际问题，例如： （1）学校评选优秀学生或优秀班级，试给出若干准则，构造层次结构模型，可分为相对评价和绝对评价两种情况讨论。 （2）你要购置一台个人电脑，考虑功能、价格等的因素，如何作出决策。 （3）为大学毕业的青年建立一个选择志愿的层次结构模型。 （4）你的家乡准备集资兴办一座小型饲养场，是养猪、养鸡、养鸭、养兔?? 5．右图是5位网球选手循环比赛的结果，作为竞赛图，它是双向连通的吗？找出几条完全路径，用适当的方法排出5位选手的名次。 18 2 1 3 5 4 6.排名次的另一个方法是考察“失分向量”以代替得分向量（选手输掉的数目为他的失分），按失分由小到大排列名次。 （1）证明：这相当于把竞赛图中各有向边反向后按得分向量排列名次，再把名次倒过来。 （2）用失分向量方法对8.2节图13（4）的竞赛图排列名次，结果与得分向量方法一致吗？ 7.利用8.3节的定理4，5说明，为了把8.3节图14不稳定的能源利用系统变为冲量和值稳定的，如果限制只能改变两条有向边的符号，那么只有3种可行方案：改变v1v2和v3v5（如8.3节所述）；改变v2v1和 v5v6：改变v2v1和v6v7。 8.考察由野兔R和狐狸F组成的生态系统，在野兔的食物资源充足的情况下，其带符号的有向图如右所示。 （1）解释图中+，- 号的意义 （2）若初始时段野兔有一增量，且设v(0)?(10,10)，计算v(1),v(2) （3）证明该系统对所有简单冲量过程都是冲量和值稳定的，从生态意义上进行解释。 （4）说明若用权描述二者的相互作用，则在某种加权的情况下系统不再稳定，并从生态意义上进行解释。 19 + _ + R _ F 9.食肉动物C、食草动H和草P组成生态系统，因为草地有限，草过密会使草的生长减慢，用带符号的有向图建立这个系统的冲量过程模型，并证明冲过程是不稳定的 10.公共汽车系统用带符号的有向图表示如下，其中只有单位距离票价随乘客行程的增加应该提高还是降低尚未确定（图中有向边1?2的标以？号），讨论这个符号应为+还是-才能使冲过程稳定。 2 ? 3 ? 4 + + + + 8 + + ? 5 ? + 6 + 7 ? ? 1 + 1 乘客的行程；2 单位距离票价；3 节油量；4 燃料消耗；5 污染；6 事故；7 晚点；8 居民人数 11.在8.4节中证明由（7），（8）给出的Shapley值?(v)满足 ?i(v)?v(i),i?1,?2,n,12.某甲（农民）有一块土地，若从事农业生产可收入1万元，若将土地租给某乙（企业家）用于工业生产，可收入3万元，当旅店老板请企业家参与经营时，收入达4万元，为促成最高收入的实现，试用Shapley值方法分配各人的所得。 13.理事会有五个常任理事和十个非常任理事，提案仅当全部常任理事和至少四个非常任理事赞成时方可通过，求每位常任理事和每位非 20