常任理事在投票中的权重。
14.奇数个席位的理事会由三派组成，议案表决实行过半数通过方案，证明在任一派都不能操纵表决的条件下，三派占有的席位不论多少，他们在表决中的权重都是一样的。
15.证明8.5节中当候选人数目m=2且选民人数n?2时，简单多数规则满足Arrow公理。
16.举例说明8.5节中确定选举结果的记分规则不满足Arrow公理3 17.用最小距离意义下的选举规则研究8.5节（3）式给出的投票 （1）如果以?d(p,pi)最小为原则确定选举结果p，说明p可以是p1，
i?13p2或p3中任一个.
（2）如果以?d2(p,pi)最小为原则确定选举结果p，说明p：x~y~z
i?13
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习题九
1.在9.1节传送带效率模型中，设工人n固定不变，若想提高传送带效率D，一种简单的办法是增加一个周期内通过工作台的钩子数m，比如增加一倍，其它条件不变，另一种办法是在原来放置一只钩子的地方放置两只钩子，其它条件不变，于是工人在任何时刻可以同时触到两只钩子，只要其中一个是空的，他就可以挂上产品，这种办法用的钩子数量与第一种办法一样，试推导这种情况下传送带效率的公式，从数量关系上说明这种办法比第一种办法好
2利用9.2节的模型计算，若每份报纸的购进价为0.75元，售出价为1元，退回价为0.6元，需求量服从均值500份，均方差50份的正态分布，报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入最高，这个最高收入是多少？
3.在9.3节中将假设条件4攺为一周的销售量是均匀进行的，如图5所示，试确定使平均费用达到最小的策略S。
4.某商店要订购一批商品零售，设购进价为c1，售出价为c2，订购费c0（与数量无关），随机需求量r的概率密度为p(r)，每件商品的贮存费为c3（与时间无关）。问如何确定订购量才能使商店的平均利润最大，这个平均利润是多少？为使这个平均利润为正值，需要对订购费c0加什么限制？
5.建立交货时间为随机变量的存贮模型。设商品订货费为c1，每件商品单位时间的贮存费为c2，缺货费为c3，单位时间需求量为r。下图中L称订货点。当贮存量降至L时订货，而交货时间x是随机的，如
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O L q Q r r
x1 t x2 图中的x1,x2,?,设x的概率密度函数为p(x)，订货量使下一周期初的贮存量达到固定值Q，为了使总费用最小，选择合适的目标函数建立模型，确定最佳订货点L。
6.在9.4节中证明方程（13）仅有一个负根z*，并且z*给出（12）式
J(z)的极小值
7. 在9.4节给出的例子中，若l=2.0m不变，而均方差减为?=10cm，问均值m应为多大，每得到一根成品材的浪费量是多大，（与原来的数值相比较）。
8.在9.4节中若钢材粗轧后，长度在l1与l之间的可降级使用，长度小于l1的才整根报废，试选择合适的目标函数建立优化模型，使某种意义下的浪费最小。 9.推导9.5节的（12）式。
10.作出与确定性阻滞增长模型相应的假设，建立随机性的阻滞增长模型。
11.假设在9.5节的模型（2），（3）式中，只考虑出生、忽略死亡，
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?n??tn验证Pn(t)满足负二项分布，即Pn(t)?Cnn?)(1?e??t)n?n,n?n0,n0?1,?. 1(e00012.考察一种既不同于指数模型、也不同于阻滞增长模型的情况：人口为x(t)，量大允许人口为xm，t到t??t时间内人口增长量与xm?x(t)成正比。
（1）建立确定性模型，将结果作图，与指数模型和阻滞增长模型的结果进行比较
（2）作出适当的假设，建立相应的随机性模型，求出人口的期望，并解释其与（1）中的x(t)在形式上完全一致的意义。
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