经济数学基础综合练习及参考答案
第一部分 微分学
题型：单项选择题，填空题，计算题和应用题。 微分部分： 一章函数： 要求：
(1) 理解函数概念，掌握求函数定义域的方法，会求初等函数的定义域和函数值；
(2) 了解复合函数概念，会对复合函数进行分解；
(3) 了解分段函数概念，掌握求分段函数定义域和函数值的方法；
(4) 知道初等函数的概念，理解常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数（正弦、余弦、正切和余切）的解析表达式、定义域、主要性质及图形；
(5) 了解需求、供给、成本、平均成本、收入和利润函数的概念； 重点：定义域确定，对应关系确定和奇偶性的判别
一、单项选择题
x1．函数y?的定义域是（ ）．
lg?x?1? A．x??1 B．x?0 C．x?0 D．x??1 且x?0
1?4?x的定义域是（ ）。 2．函数f(x)?ln(x?1)(1,2)?(2,4] D(1,2)?(2,4) A．(1,??] B．(??,4) C．
答案：C
※3．下列各函数对中，（ ）中的两个函数相等．
x2?12 A．f(x)?(x)，g(x)?x B．f(x)?，g(x)?x+ 1
x?1C．y?lnx2，g(x)?2lnx D．f(x)?sin2x?cos2x，g(x)?1 答案：D
14．设f(x)?，则f(f(x))=（ ）．
x11A． B．2 C．x D．x2
xx答案：C
※5．下列函数中为奇函数的是（ ）．
A．y?x2?x B．y?ex?e?x C．y?ln(x?1?x2) D．y?xsinx 答案：C
6．下列函数中为偶函数的是（ ）．
A．y?2x?2?x B．xcosx C．sinx?x2 D．x3sinx 答案：D
练习册：不是基本初等函数的（ ） 二、填空题
1
※1．函数f(x)?ln(x?5)?12?x的定义域是 ．
答案：(-5, 2 )
※2．若函数f(x?1)?x2?2x?5，则f(x)? ． 答案：x2?6
10x?10?x※3．设f(x)?，则函数的图形关于 对称．
2答案：y轴
二章，极限、导数与微分 要求：
⑴ 了解极限概念，知道函数在某点极限存在的充分必要条件是该点左右极限都存在且相等；
⑵ 了解无穷小量的概念，了解无穷小量与无穷大量的关系，知道无穷小量的性质；
⑶ 掌握极限的四则运算法则，掌握两个重要极限，掌握求简单极限的常用方法；
⑷ 了解函数在某点连续的概念，知道左连续和右连续的概念，知道连续与极限；会判断函数在某点的连续性；
⑸ 理解导数定义，会求曲线的切线方程，知道可导与连续的关系；
⑹ 熟练掌握导数基本公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则，掌握求简单的隐函数导数的方法；
⑺ 知道微分的概念，会求函数的微分；
⑻ 知道高阶导数概念，会求函数的二阶导数．
重点：无穷小量，函数连续，导数，微分的概念，极限，导数的计算
一、单项选择题
x?1，当（ ）时，f(x)为无穷小量. ※1. 已知f(x)?sinxA. x B. x?1 C. x??? D. ?0x???
答案：A
?sinx,x?0?2．函数f(x)??x 在x = 0处连续，则k = ( )．
??k,x?0 B．-1 C．1 D．2
1?xsin?k,x?0? 3. 函数f(x)?? 在x = 0处连续，则k?（ ）． x??1,x?0A. 1 B. 0 C. 2 D.?1
答案：A
14．曲线y?在点（0, 1）处的切线斜率为（ ）．
x?1
2
A．-2
11 B． C．2 D．?2 22答案：A
※5. 曲线y?x?1在点(1, 2)处的切线方程为（ ）．
1113A.y?x? B. y?x?
22221113C. y?x? D. y?x?
2222答案：B
1 6．若函数f()?x，则f?(x)=（ ）．
x111 A．2 B．-2 C．
xxx1D．-
x
二、填空题
sinx1．已知f(x)?1?，当 时，f(x)为无穷小量．
x答案：x?0
?x2?1x?1?※2．已知f(x)??x?1，若f(x)在(??,??)内连续，则
?ax?1?A．?a? .
答案2
x?1的间断点是 ．
x2?2x?3答案：x??1,x?3
x?34. 函数f(x)?2的连续区间是 ．
x?3x?2答案：(??,1)?(1,2)?(2,??)
※3．函数y?※5．曲线y?x在点(1,1)处的切线斜率是
1答案：．
2※6. 已知f(x)?ln2x，则[f(2)]?= ． 答案：0 三、计算题
1．已知y?xx?cos2x，求y?(x) ．
3解： y??x2?2x(ln2)sin2x
22．已知f(x)?2xsinx，求f?(x)
1 ．
3
解：f?(x)?2xln2sinx?2xcosx12x3．已知y?cosx2?xex，求y?(x)； 解：y???sinx2(2x)?(ex?xex)
22．
4．已知y?sin3x?e?2x，求dy ．
2解： y??3sinx(coxs)?e?2x(?4x)
dy=(3sin2x(cosx)?4xe?2x)dx
x?2?lnx，求dy． 5．设 y?x解：y??212x?x?x?32?321? xdy?(12x1?)dx x226．设y?sin2x?e?x，求dy． 解：y??2cos2x?2xe?x
dy?(2cos2x?2xe?x)dx 三章，导数应用 要求：
⑴ 掌握函数单调性的判别方法，会求函数的单调区间；
⑵ 了解函数极值的概念，知道函数极值存在的必要条件，掌握极值点的判别方法，知道函数的极值点与驻点的区别与联系，会求函数的极值； ⑶ 了解边际概念和需求弹性概念，掌握求边际函数的方法；
⑷ 熟练掌握求经济分析中的应用问题（如平均成本最低、收入最大和利润最大等）
重点：单调性判别，极值的概念及求法，导数在经济分析中的应用
典型例题
一、单项选择题
1．下列函数在指定区间(??,??)上单调减少的是（ ）．
A．sinx B．e x C．x 2 D．3 – x
答案：D
2．下列结论正确的有（ ）．
A．x0是f (x)的极值点，且f?(x0)存在，则必有f?(x0) = 0 B．x0是f (x)的极值点，则x0必是f (x)的驻点 C．若f?(x0) = 0，则x0必是f (x)的极值点
D．使f?(x)不存在的点x0，一定是f (x)的极值点 答案：A
※ 3. 设需求量q对价格p的函数为q(p)?3?2p，则需求弹性为Ep=（ ）．
4
2p?p3?2p3?2pA． B． C． D． ?p3?2p3?2pp答案：B 二、填空题
1．函数y?(x?1)2的单调增加区间为 ． 答案：（?1,??)
22. 函数y的驻点是 . ?3(x?1)答案：x?1
3．需求量q对价格p的函数为q(p)?100?e 。 答案：
p 2?p2，则需求弹性为Ep?
三、应用题
1．设生产某种产品x个单位时的成本函数为：C(x)?100?0.25x2?6x（万元）,
求：（1）当x?10时的总成本、平均成本和边际成本； （2）当产量x为多少时，平均成本最小？
解（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：
C(x)?100?0.25x2?6x
100C(x)??0.25x?6，C?(x)?0.5x?6
x 所以，C(10)?100?0.25?102?6?10?185
100?0.25?10?6?18.5， C(10)?10C?(10)?0.5?10?6?11
?100 （2）令 C(x)??2?0.25?0，得x?20（x??20舍去）
x 因为x?20是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当x?20时，平均成本最小. ※ 2．某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q) = 20+4q+0.01q2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q（元/件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少.
解 由已知R?qp?q(14?0.01q)?14q?0.01q2
利润函数L?R?C?14q?0.01q2?20?4q?0.01q2?10q?20?0.02q2 则L??10?0.04q，令L??10?0.04q?0，解出唯一驻点q?250.
因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大， 且最大利润为
L(250)?10?250?20?0.02?2502?2500?20?125? 0123（元）0 ※3．某厂每天生产某种产品q件的成本函数为C(q)?0.5q2?36q?9800（元）.为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？
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