?L??(100?10x)dx?(100x?5x2)10121210?200?220??20（万元）
即利润将减少20万元. ※ 4．设生产某产品的总成本函数为 C(x)?3?x(万元)，其中x为产量，单位：百吨．销售x百吨时的边际收入为R?(x)?15?2x（万元/百吨），求：
(1) 利润最大时的产量；
(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？
解：(1) 因为边际成本为 C?(x)?1，边际利润L?(x)?R?(x)?C?(x) = 14 – 2x 令L?(x)?0，得x = 7
由该题实际意义可知，x = 7为利润函数L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7百吨时利润最大.
(2) 当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为 ?L??87(14?2x)dx?(14x?x2) =112 – 64 – 98 + 49 = - 1 （万元）
78即利润将减少1万元.
经济数学基础（08春）线性代数部分期末复习指导
线性代数部分
第二章，矩阵
考试要求：
⑴ 了解矩阵概念，理解矩阵可逆与逆矩阵概念，知道矩阵可逆的条件，了解矩阵秩的概念；
⑵ 熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算，掌握这几种运算的有关性质；
⑶ 了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角形矩阵和对称矩阵的定义和性质．
⑷ 理解矩阵初等行变换的概念，熟练掌握用矩阵的初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵，熟练掌握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、逆矩阵．
重点：矩阵概念，矩阵可逆与逆矩阵概念，矩阵可逆的条件，矩阵秩的概念及求法；矩阵的运算和矩阵的求逆，矩阵的初等行变换。
典型例题
一、单项选择题
1．设A为3?2矩阵，B为2?3矩阵，则下列运算中（ ）可以进行. A．AB B．ABT C．A+B D．BAT 答案:A
2．设A,B为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ） A. (AB)T?ATBT B. (AB)T?BTAT
11
C. (ABT)?1?A?1(BT)?1 D. (ABT)?1?A?1(B?1)T 答案：B
※ 3．设A,B为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是（ ）． A. 若AB = I，则必有A = I或B = I B.(AB)T?ATBT
C. 秩(A?B)?秩(A)?秩(B) D.(AB)?1?B?1A?1 答案：D ※ 4．设A,B均为n阶方阵，在下列情况下能推出A是单位矩阵的是（ ）．
A．AB?B B．AB?BA C．AA?I D．A?1?I
答案D
?1※5．设A是可逆矩阵，且A，则A?AB?I?（ ）.
?1A. B B. 1 C. I? D. ( I?AB)?BB答案C
6．设A?(12)，B?(?13)，I是单位矩阵，则ATB?I＝（ ）．
??13???1?2???2?2???23?A．? B． C． D． ???????6?5???26??3?3??25?答案 D
※7．设下面矩阵A, B, C能进行乘法运算，那么（ ）成立.
A．AB = AC，A ? 0，则B = C B．AB = AC，A可逆，则B = C C．A可逆，则AB = BA D．AB = 0，则有A = 0，或B = 0 答案：B
二、填空题
※1．两个矩阵A,B既可相加又可相乘的充分必要条件是 .
答案：同阶矩阵
※2．若矩阵A = ??12?，B = ?2?1?，则ATB= ．
??21?答案? ??4?2??102??，当a033．设A?? 时，A是对称矩阵. a?????23?1??答案：a?0
?13?※4．当a 时，矩阵A???可逆. ?1a??答案：a??3
5．设A,B为两个已知矩阵，且I?B可逆，则方程A?BX?X的解X? ．
答案(I?B)?1A
6．设A为n阶可逆矩阵，则r(A)= ． 答案：n
12
?27．若矩阵A =??4??0答案：2
加作业的单选2 2.计算题
?1（1）设矩阵 A =??0??2?12?02??，则r(A) = ?33?? ．
1??12?3?-1??2?，B =?，计算(BA)． ?0?12??0???11?12?3?????5?3??解 因为BA=???0?2?=?4? 0?122???20???????5?310???1?111? (BA I )=????4201? 4201????3??101?11?1?1?2? ?????01?2?5???0?245?2???0?1?3??，是3阶单位矩阵，求?1?2?2?7※（2）设矩阵A??． I(I?A)?????3?4?8??解：由矩阵减法运算得
?100??0?1?3??113?????2?2?7???237? 010 I?A??????????001?????3?4?8????349??利用初等行变换得
113100113100???????? 237010?011?210???????349001010?301?????11310011023??3????????011?210?0103?01 ? ???????00111???100111?1?????1001?32???? 010?301 ?????00111?1??32??1?? 1I?A)????301即 (????1?11?? 13
?1※（3）设矩阵A????1??2解：利用初等行变换得
?1?1??12??2?2?1 ???0??0?1 ???0??0??4即 A?1????5??6?10??2???1?，求A?1B． 21?,B?????23???1??0100??1?10100??011110? 1010??????3001???043?201???10100?0?1?101?010?5?311110?????0?1?6?41?4??001600?4?31?10?5?31?? 0164?1???31??31?? 4?1??0?1?? ?1??
由矩阵乘法得
??4?31??2???4????1????6? ?5?31 A?1B?????????4?1??6???1????7??
第三章 线性方程组
考试要求：
⑴ 了解线性方程组的有关概念，熟练掌握用消元法求线性方程组的一般解；
⑵ 理解并熟练掌握线性方程组的有解判定定理．
重点：线性方程组有解判定定理、线性方程组解的表示及求解
非齐次线性方程组AX = b的解的情况归纳如下：
AX = b有唯一解的充分必要条件是秩(A) = 秩(A) = n； AX = b有无穷多解的充分必要条件是秩(A) = 秩(A) < n；
AX = b无解的充分必要条件是秩(A) ? 秩(A)． 相应的齐次线性方程组AX = 0的解的情况为：
AX = 0只有零解的充分必要条件是 秩(A) = n； AX = 0有非零解的充分必要条件是 秩(A) < n．
典型例题：
一、单项选择题
14
?1?2?※1．若线性方程组的增广矩阵为A??，则当?＝（ ??214?性方程组有无穷多解．
A．1
B．?1 C．2
）时线
1 2D．
(答案D)
2． 若非齐次线性方程组Am×n X = b的( )，那么该方程组无解． A．秩(A) ＝ n B．秩(A)＝m C．秩(A）? 秩 (A) D．秩(A）= 秩(A) (答案C)
?x1?x2?1 3．线性方程组? 解的情况是（ ）．
x?x?02?1 A. 无解 B. 只有0解 C. 有唯一解 D. 有无
穷多解 答案 A
4． 线性方程组A只有零解，则A（ ）. X?0Xb?(b?0)A. 有唯一解 B. 可能无解 C. 有无穷多解 D. 无解 答案B
5．设线性方程组AX=b中，若r(A, b) = 4，r(A) = 3，则该线性方程组（ ）． A．有唯一解 B．无解 C．有非零解 D．有无穷多解 答案B
6．设线性方程组AX?b有唯一解，则相应的齐次方程组AX?O（ ）． A．无解 B．有非零解 C．只有零解 D．解不能确定 答案C
二、填空题
1．若r(A, b) = 4，r(A) = 3，则线性方程组AX = b ． 答案：无解
?x?x2?0※2．若线性方程组?1有非零解，则?? ．
x??x?0?12答案：??-1
3．设齐次线性方程组Am?nXn?1?0，且秩(A) = r < n，则其一般解中的自由未知量的个数等于 ．
答案：n?r
?1?123?010?2?则此方程组的4．齐次线性方程组AX?0的系数矩阵为A??????0000??一般解为 .
※5．线性方程组A的增广矩阵A化成阶梯形矩阵后为 X?b 15