解 因为 C(q)=
C(q)9800=05 （q?0） .q?36?qqqq C?(q)=(0.5q?36?9800)?=0.5?9800 2 令C?(q)=0，即0.5?98002=0，得q1=140，q2= -140（舍去）. qq1=140是C(q)在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值.
所以q1=140是平均成本函数C(q)的最小值点，即为使平均成本最低，每天
产量应为140件. 此时的平均成本为
9800 C(140)=0.5?140?36?=176 （元/件）
140※4．某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为q（q为需求量，p为价格）．试?1000?10p求：
（1）成本函数，收入函数； （2）产量为多少吨时利润最大？
解 （1）成本函数C(q)= 60q+2000．
1 因为 q，即p?100?q， ?1000?10p10121 所以 收入函数R(q)=p?q=(100?q)q=1． 00q?q101012 （2）因为利润函数L(q)=R(q)-C(q) =1-(60q+2000) 00q?q101= 40q-q2-2000
1012且 Lq-2000)?=40- 0.2q )=(40q-?(q10令L )= 0，即40- 0.2q= 0，得q= 200，它是L(q)在其定义域内的唯一驻点．?(q 所以，q= 200是利润函数L(q)的最大值点，即当产量为200吨时利润最大．
第二部分 一元函数积分学
一、二章，不定积分和定积分： 要求
⑴ 理解原函数与不定积分概念，了解定积分概念，知道不定积分与导数（微分）之间的关系；例如：dsinxdx?sinxdx，而d(sinx)?sinx?c ⑵ 熟练掌握积分基本公式和直接积分法；
⑶ 掌握第一换元积分法（凑微分法）、分部积分法；
⑷ 知道无穷限积分的收敛概念，会求简单的无穷限积分．
重点：原函数、不定积分和定积分概念、积分的性质、积分基本公式、第一换元积分法、分部积分法、无穷限积分
??
三章，积分应用 要求
(1) 熟练掌握用不定积分和定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量的方
6
法；
(2) 了解微分方程的几个概念，掌握简单的可分离变量的微分方程的解法，会求一阶线性微分方程的解．
重点：积分的几何应用、积分在经济分析中的应用、常微分方程
典型例题
一、单项选择题
1．在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 3）的曲线为（ ）． A．y?x2?4 B．y?x2?3 C．y?x2?2 D．y?x2?1 答案：C
2. 下列函数中，（ ）是xsinx的原函数．
A．-2xcosx B．2xcosx C．?答案：C
3．下列等式不成立的是（ ）．
22211xcosx2 D．xcosx2 22d(3x) A．3dx? B．?sinxdx?d(cosx)
ln311dx?dx D．lnxdx?d() C．
x2xx选择D 4．若
?f(x)dx??e?x2?x2?c，则f?(x)=（ ）.
xxxA. ?e1?1?1? B. e2 C. e2 D. ?e2
244?x答案：D 5.
?xd(e?x)?（
）．
?xA．xe?c B．xe答案：B 6. 若
A．
?e?x?c
C．?xe?x?c D．xe?x?e?x?c
?f(x)e1xdx??e?c，则f (x) =（ ）．
1x1111 B．- C．2 D．-2 xxxx答案：C
※7. 若F(x)是f(x)的一个原函数，则下列等式成立的是( )．
A．C．
?xabf(x)dx?F(x) B．?f(x)dx?F(x)?F(a)
abax?aF(x)dx?f(b)?f(a) D．?f?(x)dx?F(b)?F(a)
答案：B
※ 8．下列定积分中积分值为0的是（ ）．
7
x?x1e?eex?e?xdx B．?dx A．??1?1221C．
????(x3?cosx)dx D．?(x2?sinx)dx
???答案：A
※ 9．下列无穷积分中收敛的是（ ）．
A．
???sinxdx B．???exdx C．?????11dxdx D．2?001x13x答案：C
10．下列微分方程中，（ ）是线性微分方程． A．yx2?lny?y?
B．y?y?xy2?ex
C．y???xy??ey D．y??sinx?y?ex?ylnx
答案：D
11．微分方程(y?)2?y?(y??)3?xy4?0的阶是（ ）.
A. 4 B. 3 C. 2 答案：C 二、填空题
※1．d?e?x2dx? ．
答案：e?x2dx
※2．?(cosx)?dx?__________________。
答案：cosx?c
3．函数f (x) = sin2x的原函数是 ．
答案： 4．若
?f(x)dx?2x?3x?c，则f(x)? . 答案：2xln2?3
※5．若?f(x)dx?F(x)?c，则?xf(1?x2)dx= .
答案：?12F(1?x2)?c ※6．
dedx?1ln(x2?1)dx? . dx2dx?1ln(x?1)dx? 答案：0
※7．?1sinx?1(x2?1)dx? ．
答案：0 8．无穷积分???-x0edx是
．
答案：1 9. (y??)3?e?2xy??0是 阶微分方程.
答案：二阶
10．微分方程y??x2的通解是 ．
8
D. 1 答案：y?23x?c 3
三、计算题
2.不定积分定、积分的计算
积分基本公式，牛顿——莱布尼茨公式，积分计算方法：直接积分法，换元积分法和分部积分法
计算下列积分
※（1）?解
sinxxdx
12xdx?2?sinxdx
12xdx=dx
?sinxxdx?2?sinx=?2cosx?c
※（2）?1xedx 2x111xe11解：?2dx???ex(?2)dx???exd()
xxx??e?c (?1x11)dx?d() 2xx※（3）?1x1?lnx1111dx??dx??d(lnx) 解：?xx1?lnx1?lnx1?lnx111d(1?lnx)?21?lnx?c (?2)dx?d() =?xx1?lnxdx
※ (4)
e?e1xlnxdx
ee121e211212解：?xlnxdx?xlnx??xdx?e?x
1221x241112 =(e?1)（答案：
4※(5)
解：
?e1e1x2lnxdx
ee?131e3111212xlnxdx?xlnx??xdx?e3?x3?e3?
331x391991?0※（6）?2xcosxdx
?解
?202?xcosxdx=xsinx0?sinxdx?20???2?cosx02??? 29
四、应用题
用不定积分或定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量。 平均成本最小和利润最大
步骤：（1）找出求最值的函数（如果是平均成本最小，要先从边际成本得到成本函数，再得到平均成本函数；如果是求利润最大，经常可以直接得到边际利润）； （2）求其一阶导数，找出驻点（唯一） （3）说明
※1．投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为C?(x)=2x + 40(万元/百台). 试
求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低. 解 当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为 ?C?x0?64(2x?40)dx=(x2?40x)= 100（万元）
406C?(x)dx?c?又 C(x)?x?36?0， 解得x?6. 令 C(x)?1?2x36x2?40x?36= =x?40?
xx x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为6百台
时可使平均成本达到最小.
2．已知某产品的边际成本为C?(x)?4x?3(万元/百台)，x为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本. 解：因为总成本函数为
2 C(x)?(4x?3)dx=2x?3x?c
?当x = 0时，C(0) = 18，得 c =18 即 C(x)=2x?3x?18 又平均成本函数为 A(x)?令 A?(x)?2?2C(x)18?2x?3? xx18?0， 解得x = 3 (百台) x2该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为
A(3)?2?3?3?
3．生产某产品的边际成本为C?(x)=8x(万元/百台)，边际收入为R?(x)=100-2x（万元/百台），其中x为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？
解：已知C?(x)=8x(万元/百台)，R?(x)=100-2x，则L?(x)?100?10x
令L?(x)?0，解出唯一驻点x?10
由该题实际意义可知，x = 10为利润函数L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为10百台时利润最大.
从利润最大时的产量再生产2百台，利润的改变量为
18?9 (万元/百台) 3 10