实验02 一元函数极限与导数运算
实验目的：
1、掌握运用函数的图形来观察和分析函数的有关特性与变化趋势的方法, 建立数形结合的思想; 掌握用Mathematica作平面曲线图形的方法与技巧；
2、掌握Mathematica的基本运算，包括多项式的代数运算、求方程和方程组的根；
3、通过计算与作图, 从直观上揭示极限的本质, 加深对极限概念的理解. 掌握用Mathematica计算极限的方法. 深入理解函数连续的概念； 4、深入理解导数与微分的概念、导数的几何意义. 掌握用Mathematica求导数与高阶导数的方法. 深入理解和掌握求隐函数的导数, 以及求由参数方程定义的函数的导数的方法。
实验内容：
1、Mathematica的基本运算 2、一元函数作图 3、一元函数求极限 4、一元函数求导数
2.1实验准备 函数命令：
1）一元函数作图 （1）基本一元函数作图命令
Plot[f[x], {x, xmin, xmax}，可选项]
其中，f[x]代表一个函数表达式，x表示函数的自变量，xmin和xmax分别表示所要画的图形中x取值的上、下限。可选项是对图形参数的设定，如果不写可选项，则系统按内定的参数输出图形。同时画多个函数的图形。其命令格式为：
Plot[{f1[x],f2[x],…},{x,xmin,xmax}]
注意，其中多个函数应该使用同一个自变量x。 （2）参数方程的命令
ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,tmin,tmax}] （3）极坐标方程作图命令
PolarPlot[r,{t,t1,t2}]
产生一个半径为r的曲线极坐标图，作为角度t的函数.
PolarPlot[{f1,f2,…},{t,t1,t2}]
产生一个曲线的极坐标，显示径函数f1，f2，….
2）Mathematica的基本运算 （1）多项式的表示形式 函数 Expand[ploy] ExpandAll[ploy] Factor[ploy] FactorTerms[ploy,{x,y,…}] Simplify[poly] 功能 按幂次展开多项式ploy 全部展开多项式ploy 对多项式poly进行因式分解 按变量x,y,…进行分解 把多项式化为最简形式 14
FullSimplify[ploy] Collect[poly,x] Collect[poly,{x,y…}]
（2） 求解代数方程和方程组 函数 Solve[lhs==rhs,vars] NSolve[lhs==rhs, vars] Roots[lhs==rhs ,vars] FindRoot[lhs==rhs,{x, x0}] 把多项式化简 把多项式poly按x幂展开 把多项式poly按x,y….的幂次展开 功能 给出方程的解集 直接给出方程的数值解集 求表达式的根 求x在x0附近的方程的数值解
3）极限 Mathematica计算极限的命令是Limit[]。
4）Mathematica中求函数导数的命令D[]。 2.2验证实验
2.2.1 一元函数图形 基本一元函数作图 例如：
命令中的AspectRatio->Automatic 表示按实际比例作图。在不加这个参数时，系统按0.618:1作图。 Mathematica 可以很好地处理奇点。 例：画f(x)=e在区间[-1, 1]上的图形。系统可以略过x=0的点，而在它的邻域内画出函数的图形。 1x
Mathematica可以同时画多个函数的图形。其命令格式为：
Plot[{f1[x],f2[x],…},{x,xmin,xmax}]
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注意，其中多个函数应该使用同一个自变量x。
例：画出sinx , 1/2 sin 2x , 1/3sin3x在区间[0, 2π]上的图形。
参数方程作图
参数方程的命令格式为：ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,tmin,tmax}] ??x?a?t?sint?,t ?(0,2?)的图形。 例：画出旋轮线???y?a?1?cost?
极坐标方程作图 例：画四叶玫瑰线r=2cos2t的图形。
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可选参数
作图命令可以添加可选参数，改变图形属性。以“选项名->选项值”的形式，一次可设置多个选项，选项依次排列，用逗号隔开，也可以不设置选项，采用系统的默认值。如上面的AspectRatio。每个作图命令的可选参数不同，具体可查看帮助。 选项 AspectRatio AxesLabel PlotLabel PlotRange PlotStyle PlotPoint 图形的高、宽比 给坐标轴加上名字 给图形加上标题 指定函数因变量的区间 用什么样方式作图（颜色，粗细等） 画图时计算的点数 说明 1/0.618 不加 不加 计算的结果 值是一个表 25 默认值 2.2.2 Mathematica的基本运算 1）多项式的表示形式 可认为多项式是表达式的一种特殊的形式，所以多项式的运算与表达式的运算基本一样，表达式中的各种输出形式也可用于多项式的输出。Mathematica提供一组按不同形式表示代数式的函数。下面是一些例子 (1) 对x 8 -1 进行分解 In[1]:=Factor[x^8-1] Out[1]=(-1+x)(1+x)(1+x 2)(1+x4) (2) 展开多项式 (1+x) 5 In[2]:= Expand[(1+x)^5] Out[2]=1+5x+10x 2+10x 3+5x 4+x5 (3) 展开多项式 (1+x+3y) 4 In[3]:= Expand[(1+x+3y)^4] Out[3]=1+4x+6x 2+4x 3+x 4+12y+36xy+36x 2y+12x 3y+54y 2 +108xy 2+54x 2y 2+108y 3+108xy 3+81y 4 (4) 展开并化简(2+x) 4 (1+x) 4 (3+x) 3 In[4]:= Simplify[Expand[(2+x)^4(1+x)^4(3+x)^3]] Out[4]=(3+x) 3 (2+3x+x 2 ) 4 2）多项式的代数运算 多项式的运算有加、减、乘、除运算：+，-，*，/。 （1）约去公因式 使用Cancel函数可以约去公因式 In[1]:= p1= a^2+3*a+2;p2= a+1; Cancel[p1/p2] Out[1]=2+a （2）商式和余式 两个多项式相除，总能写成一个多项式和一个有理式相加Mathematic中提供两个函数PolynomialQuotient和PolynomialRemainder分别返商式和余式。
x2例如：1?2x
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In[2]:=PolynomialQuotient[x^2, 1+2x,x]
1x??Out[2]=42 商的整式部分
In[3]:= PolynomialRemainder[x^2, 1+2x,x]
1Out[4]=4 商的余式部分
3）方程及其根的表示 因为Mathematica把方程看作逻辑语句。在数学方程式表示为形如“x 2 -2x -3=0”的形式。在Mathematica中“=”用作赋值语句，这样在Mathematica中用“==”(两个等号中间没有空格)表示逻辑等号，则方程应表示为“x^2 -2x -3==0” 。方程的解同原方程一样被看作是逻辑语句。例如用Roots[lhs==rhs,vars]求方程x 2-3x+2=0的根显示为： In[1]:=Roots[x^2-3x+3==0,x]
Out[1]=x==1||x==2 这种表示形式说明x取1或2均可 而用Solve[lhs==rhs,vars]可得解集形式： In[2]:=Solve[x^2-3x+3==0,x] Out[2]={{x→1},{x→2}}
4）求解一元代数方程 先看Solve函数例子：
In[3]:=Solve[x^2-2x-3==0,x] Out[3]= {{x→-1},{x→3}}
Solve函数可处理的主要方程是多项式方程。Mathematica总能对不高于四次的方程进行精确求解，对于三次或四次方程，解的形式可能很复杂。 例如求x 3 +5x+3=0
In[4]:=Solve[x^3+5x+3==0,x]
这时可用N函数近似数值解： In[5]:=N[%]
Out[5]= {{x→-0.5641},{x→0.28205-2.28881i},{x→0.28205+2.28881i}}
当方程中有一些复杂的函数时，Mathematica可能无法直接给出解来。在这种情况下我们可用FindRoot[ ]来求解，但要给出起始条件。 例如求3Cosx=lnx的解：
In[6]:=FindRoot[3*Cos[x]==Log[x],{x,1}] Out[6]= {x→1.44726}
但只能求出x=1附近的解，如果方程有几个不同的解，当给定不同的条件时，将给出不同
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