21?3?2?1?1?2?3?4?5123
再输入 gen=Solve[f3'' [x]==0,x] 则输出 ?1??1???????x????,?x?????6??6????? 即得到二阶导数等于0的点是?11??1??. 用例1中类似的方法知在???,?和,?????66??6??上二阶导数大于零, 曲线弧向上凹. 在????11?,?上二阶导数小于零, 曲线弧向上凸. 66?再输入 f3[x]/.则输出 {3/4,3/4} 这说明函数在?例3 已知函数 11?13??13?和的值都是3/4. 因此两个拐点分别是??,?和?,?. 4666??64??f(x)?1625x?2x5?x4?60x3?150x2?180x?25, 22在区间[?6,6]上画出函数f(x),f?(x),f??(x)的图形, 并找出所有的驻点和拐点.
输入命令
f[x_] := x^6/2 - 2*x^5 - 25*x^4/2 + 60*x^3 - 150*x^2 - 180*x - 25;
Plot[{f[x], f'[x], f''[x]}, {x, -6, 6}, PlotStyle -> {GrayLevel[0], Dashing[{0.01}], RGBColor[1, 0, 0]}]
NSolve[f'[x] == 0, x]
29
NSolve[f''[x] == 0, x] 则输出如图
600040002000?6?4?2?2000?4000?6000246
3.2.3求函数的极值 例4 求函数y?x的极值. 21?x输入 f2[x_]:=x/(1+x^2); Plot[f2[x],{x,-10,10}] 则输出如图. 0.40.2?10?5?0.2510?0.4
观察它的两个极值. 再输入 Solve[f2' [x]==0,x] 则输出
{{x->-1},{x->1}}
即驻点为x??1.用二阶导数判定极值, 输入 f2'' [-1] f2'' [1]
则输出1/2与-1/2. 因此x??1是极小值点, x?1是极大值点. 为了求出极值, 再输入 f2[-1] f2[1]
输出-1/2与1/2. 即极小值为-1/2, 极大值为1/2.
30
3.2.4 求极值的近似值 例5 求函数y?2sin2(2x)?5?x?xcos2??的位于区间(0,?)内的极值的近似值. 2?2?输入
f4[x_]:=2 (Sin[2 x])^2+5x*(Cos[x/2])^2/2; Plot[f4[x],{x,0,Pi}] 则输出如图.
3.53.02.52.01.51.00.50.51.01.52.02.53.0
观察函数图形, 发现大约在x?1.5附近有极小值, 在x?0.6和有x?2.3极大值. 用命令 FindMinimum直接求极值的近似值. 输入 FindMinimum[f4[x],{x,1.5}] 则输出 {1.94461,{x->1.62391}} 即同时得到极小值1.94461和极小值点1.62391. 再输入 FindMinimum[-f4[x],{x,0.6}] FindMinimum[-f4[x],{x,2.3}] 则输出 {-3.73233,{x->0.864194}} {-2.95708,{x->2.24489}} 即得到函数?y的两个极小值和极小值点. 再转化成函数y的极大值和极大值点.
3.2.5泰勒公式与函数逼近 x2xn????Rn(x)近似计算ex. 若|x|?1,要求截断误差例6 利用泰勒公式e?1?x?2!n!x|Rn|?0.005,问n应取多大?
exe3因为|Rn|?xn?1?|x|n?1?,
(n?1)!(n?1)!(n?1)!所以, 欲使|Rn|?0.005, 只要取n?5即可.
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输入命令
f[x_]=Normal[Series[Exp[x],{x,0,5}]]
Table[N[{x,Exp[x],f[x],Exp[x]-f[x]}],{x,-1,1,0.4}] 则输出下表结果
?xexp(x)截断误差Rn(?x)0.001212770.00005963618.64113?10?89.14935?10?80.00007080040.00161516?1.000.3678790.366667?0.600.54888120.548752?0.200.200.601.000.8187311.22141.822122.718280.8187311.22141.822052.71667 例7 观察函数f(x)?sinx各阶泰勒展开的图形. (1) 固定x0?0,观察阶数n的影响; 输入命令 t = Table[Normal[Series[Sin[x], {x, 0, i}]], {i, {5, 15, 25}}]; PrependTo[t, Sin[x]]; Plot[t, {x, 0, 5*Pi}, PlotRange -> {-3, 3}, PlotStyle -> {RGBColor[0, 0, 0], RGBColor[1, 0, 0], RGBColor[0, 1, 0], RGBColor[0, 0, 1]}, Background -> RGBColor[0.753, 0.753, 0.753]] 则输出如图. 32151015?1?2?3 (2) 扩大显示区间范围, 以观察在偏离展开点x0时泰勒多项式对函数的逼近情况; 输入命令
t = Table[Normal[Series[Sin[x], {x, 0, i}]], {i, 1, 19, 2}]; PrependTo[t, Sin[x]];
Plot[Evaluate[t], {x, -Pi, Pi}]
Plot[Evaluate[t], {x, -Pi, Pi}, AspectRatio -> Automatic] Plot[Evaluate[t], {x, -2 Pi, 2 Pi}, AspectRatio -> Automatic] Plot[Evaluate[t], {x, -3 Pi, 2 Pi}, AspectRatio -> Automatic]
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则分别输出相应图形.
321?3?2?1?1?2?3123
321?3?2?1123?1?2?3
42?6?4?2246?2?4 33