42?5?25?4
通过观察泰勒多项式图形与函数图形的重合与分离情况, 可以看到在[??,?]范围内y?sinx的9次泰勒多项式与函数图形几乎重合, 而在[?2?,2?]范围内y?sinx的各次泰勒多项式陆续与y?sinx的图象分离, 但其15次以及更高的泰勒多项式仍紧靠着y?sinx, 而在[?3?,3?]范围内, 其15次泰勒多项式的图形也与y?sinx的图象分离.
由此可见, 函数的泰勒多项式对于函数的近似程度随着次数的提高而提高, 但对于任一确定次数的多项式, 它只在展开点附近的一个局部范围内才有较好的近似精确度. (3) 固定n?10,观察x0的影响. 输入命令 t = Table[Normal[Series[Sin[x], {x, x0, 10}]], {x0, {0, 5, 12}}]; PrependTo[t, Sin[x]]; Plot[t, {x, 0, 6*Pi}, PlotRange -> {-3, 3}, PlotStyle -> {RGBColor[0, 0, 0], RGBColor[1, 0, 0], RGBColor[0, 1, 0], RGBColor[0, 0, 1]}, Background -> RGBColor[0.753, 0.753, 0.753]] 则输出如图. 32151015?1?2?3
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3.2.6中值定理 例8 对函数f(x)?x(x?1)(x?2),观察罗尔定理的几何意义. 因为f(0)?f(1)?f(2)?0,由罗尔定理, 存在x1?(0,1), x2?(1,2), 使得 f?(x1)?f?(x2)?0. (1) 画出y?f(x)与f?(x)的图形, 并求出x1与x2. 输入 f[x_] = x*(x - 1)*(x - 2); g1 = Plot[f[x], {x, -1, 3}, PlotStyle -> RGBColor[1, 0, 0]]; g2 = Plot[f'[x], {x, -1, 3}]; Show[g1, g2] NSolve[f'[x] == 0, x] 21?1?1?2?3123
(2)画出y?f(x)及其在点(x1,f(x1))与(x2,f(x2))处的切线. 输入 t1[x_] = f[0.42265]; t2[x_] = f[1.57735]; Plot[{f[x], t1[x], t2[x]}, {x, -1, 3}] 1.51.00.5?1?0.5?1.0?1.5123
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例9 对函数f(x)?ln(1?x)在区间[0,4]上观察拉格朗日中值定理的几何意义. (1) 画出y?f(x)及其左、右端点连线的图形; 输入命令 Clear[g1, g2];
f[x_] = Log[1 + x]; a = 0; b = 4;
g1[x_] := f[a] + (f[b] - f[a])*(x - a)/(b - a); g2[x_] := f'[x] - (f[b] - f[a])/(b - a); Plot[{f[x], g1[x]}, {x, a, b}] 1.51.00.51234 (2)画出函数y?f?(x)?f(4)?f(0)f(4)?f(0). 的曲线图, 并求出?使得f?(?)?4?04?0 输入 Plot[g2[x],{x,a,b}] NSolve[f ' [x]==(f[b]-f[a])/(b-a),x]; 0.60.40.21234?0.2 {{??→1.4853397382384472}}
(3)画出y?f(x),它在?处的切线及它在左、右端点连线的图形. 输入命令
x1 = 1.4853397382384472; g3[x_] = f[x1] + f'[x1]*(x - x1); Plot[{f[x], g1[x], g3[x]}, {x, a, b}]
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1.51.00.51234
例10 函数f(x)?1/x4在区间[1,2]上满足拉格朗日中值定理的条件, 因此存在??(1,2)使
f?(?)?f(f(2)?f(1))/(2?1). 验证这个结论的正确性. 输入 Clear[f]; f[x_]:=1/x^4; Solve[D[f[x],x]==f[2]-f[1],x]//N 输出中有5个解: {{x -> -1.08137 - 0.785663 I}, {x -> 1.33665}, {x ->0.413048 + 1.27123 I}, {x ->0.413048 - 1.27123 I}, {x -> -1.08137 + 0.785663 I}} 其中的实数解就是满足拉格朗日中值定理的?, 约为1.33665. 3.3 大作业 1）在区间[0,1]上对函数f(x)?4x?5x?x?2验证拉格朗日中值定理的正确性。 2）在区间[0,232?2]上对函数f(x)?sinx和F(x)?x?cosx验证柯西中值定理的正确性 3）求y?x在(1,1)处的切线和法线方程。 4）求x?t,y?sint在(1,sin1)处的切线和法线方程。 5）作函数y=x4+2x3–72x2+70x+24及其二阶导函数在区间[–8, 7]上的图形, 并求该函数的凹凸区间和拐点. 6）函数f(x)?e?x21625xcos()，g(x)?sinx3?作它们在区间[0, ?]上的图形, 并求方程
4?f(x)=g(x)在该区间内的近似根.
7）查阅Cauchy中值定理的相关资料，编写通用的Cauchy中值定理验证函数，该函数并具有相应的画图功能。请举例验证该函数，写出实验报告。
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实验04 一元微分应用中的数学模型
实验目的：
1、学习建立一元函数的极值模型
2、学习使用Mathematica求一元函数极值的方法
实验内容：
1、圆柱形水塔维修问题 2、驳船的长度问题
4.1实验准备 4.1.1 数学原理：
定理1（极值的第一充分条件）
设函数y=f(x)在x的一个领域内可微（在x处可以不可微，但必须连续），若当x在该邻域内由小于x连续地变为大于x时，其导数f′(x)改变符号，则f(x)为函数的极值. x为函数的极值点，并且
（1）若导数f′(x)由正值变为负值，则x为函数的极大值点； （2）若导数f′(x)由负值变为正值，则x为函数的极小值点； （3）若导数f′(x)不变号，则x不是函数的极值点. 运用该定理求函数极值点的一般步骤是：
（1）确定函数定义域并找出所给函数的驻点和导数不存在的点； （2）考察上述点两侧导数的符号，确定极值点； （3）求出极值点处的函数值，得到极值. 定理2（极值的第二充分条件）
设函数y=f(x)在x处的二阶导数存在，若f′(x)=0，且f″(x)≠0，则x为函数的极值点，f(x)为函数的极值，并且
（1）当f″(x)>0时，则x为函数的极小值点，f(x)为函数的极小值； （2）当f″(x)<0时，则x为函数的极大值点，f(x)为函数的极大值. 运用该定理求函数极值点的一般步骤是：
（1）确定函数定义域，并找出所给函数的全部驻点； （2）考察函数的二阶导数在驻点处的符号，确定极值点.
4.1.2函数命令：
求一元函数的导数命令 绘制一元函数图形的命令 求解一元函数的根的命令
4.2设计实验
4.2.1圆柱形水塔维修问题
在地面上建有一座圆柱形水塔,水塔内部的直径为d, 并且在地面处开了一个高为H的小门.现在要对水塔内部进行维修施工, 施工方案要求把一根长为s(s>d)的水管运到水塔内部. 请问水塔的门高H多高时, 才有可能成功地把水管搬进水塔内?(d=8米, s=8米) 解答：
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