1.4 练习
n1?1?1）取很大的正整数n，验证公式?1???e和??e。
?n?k?0k!n2）输入以下命令, 理解选项的含义:
Plot[{Sin[x],Sin[2x],Sin[3x]},{x,0,2Pi},PlotStyle->
{RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,1,0],RGBColor[0,0,1]}]; Plot[Sqrt[1+x^2],{x,-6,6},
PlotStyle->{Dashing[{0.01,0.02}], RGBColor[1,0,0]}]; 3）输入以下命令, 观察函数的复合情形: Plot[Sin[Cos[Sin[x]]],{x,-Pi,Pi}]; Plot[Sin[Tan[x]]-Tan[Sin[x]]/x^2,{x,-2Pi,2Pi}]; Plot[{E^x,ArcTan[x],E^ArcTan[x]},{x,-5,5},PlotStyle-> {RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,1,0],RGBColor[0,0,1]}]; 4）为观察函数的叠加, 输入以下命令: g1=Plot[x,{x,-5,5},PlotStyle->RGBColor[1,0,0]] g2=Plot[2Sin[x],{x,-5,5},PlotStyle->RGBColor[1,1,0]] g3=Plot[x+2Sin[x],{x,-5,5},PlotStyle->RGBColor[0,0,1]] Show[g1,g2,g3] 5）分别用ParametricPlot和PolarPlot作出五叶玫瑰线?=4sin5?的图形. 6）定义数列x0?1,xn?7）求极限:
13(xn?1?)，计算前10项的值, 观察变化趋势. 2xn?1lim(xsinx?011?sinx); xx x?0?limxx，
tanx?sinxlim x?0x3 x2lim x???exlimx2lnx
sinx1?cosxlim() x?0x1 x?0?8）求下列函数的导数: y=f(x2); y=f2(x); 9）求函数y=x2cosx的高阶导数y(10). 10）求下列隐函数y=y(x)的导数
y=ln(f(x)); lnx?e?yx?e，
arctany?lnx2?y2x24
实验03 一元函数微分学应用
实验目的：
1、理解并掌握用函数的导数求单调区间、凹凸区间、极值的方法。 2、结合图形理解泰勒公式和中值定理的意义。
实验内容：
1、求函数的单调区间、凹凸区间、极值。
2、求函数的泰勒公式，并绘制函数及其泰勒公式的图形。 3、验证中值定理的正确性。
3.1实验准备 3.1.1 数学原理：
1）利用导数求函数的单调区间
设函数f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内f'(x)?0，那么函数y?f(x)在此区间为的增函数；如果在这个区间内f'(x)?0，那么函数y?f(x)在此区间内为减函数. 2）利用导数求函数的凹凸区间
设函数y?f(x)在区间(a,b)内的二阶导数存在，（1）若在(a,b)内f\x)?0，则函数y?f(x)在区间(a,b)内是凹的；（2）若在(a,b)内f\x)?0，则函数y?f(x)在区间
(a,b)内是凹的.
函数y?f(x)的拐点一定是f\x)=0的点或f\x)不存在的点，但f\x)=0的点或
f\x)不存在的点不一定是函数的拐点.
3）利用导数求函数的极值 若x0满足f'(x0)?0，且在x0的两侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0)是极值，并且如果f'(x)在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值；如f'(x)在x0两侧满足“左负右正” ，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值.
4）泰勒公式
对于正整数n，若函数f(x)在闭区间[a,b]上n阶连续可导，且在(a,b)上n?1阶可导。任取x0?[a,b]是一定点，则对任意x?[a,b]成立下式：
f'(x0)f\x0)f(n)(x0)2f(x)?f(x0)?(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n?Rn(x)
1!2!n!25
其中，f(n)(x)表示f(x)的n阶导数，多项式称为函数f(x)在x0处的泰勒展开式，剩余的
Rn(x)是泰勒公式的余项，是(x?x0)n的高阶无穷小。
5）中值定理
【罗尔中值定理】
如果函数f(x)满足以下条件：在闭区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，f(b)=f(a)，则至少存在一个??(a,b)，使得f'(?)?0。 【拉格朗日中值定理】 若函数f(x)在区间[a,b]满足以下条件： （1）在(a,b)上可导；（2）在[a,b]上连续； 则必有一??(a,b)，使得f'(?)?【柯西（Cauchy）中值定理】 设函数f(x)、g(x)满足 （1）在闭区间[a,b]上连续； （2）在开区间(a,b)内可导； （3）对任意x?(a,b)，g'(x)?0， 那么在(a,b)内至少有一点??(a,b)，使得f(b)?f(a)。 b?af'(?)f(b)?f(a)?. g'(?)g(b)?g(a)
3.1.2函数命令： 1.求多项式方程的近似根的命令NSolve和NRoots 命令NSolve的基本格式为：NSolve[f[x]= =0,x]。执行后得到多项式方程f(x)?0的所有根(包括复根)的近似值. 命令NRoots的基本格式为：NRoots[f[x]= =0,x,n]。它同样给出方程所有根的近似值. 但是二者表示方法不同. 在命令NRoots的后面所添加的选项n, 要求在求根过程中保持n位有效数字；没有这个选项时, 默认的有效数字是16位. 2.求一般方程的近似根的命令FindRoot
命令的基本格式为 FindRoot[f[x]= =0,{x,a},选项] 或者 FindRoot[f[x]= =0,{x,a,b},选项]
其中大括号中x是方程中的未知数, 而a和b是求近似根时所需要的初值. 执行后得到方程
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在初值a附近, 或者在初值a与b之间的一个根.
方程的右端不必是0, 形如f(x)?g(x)的方程也可以求根. 此外, 这个命令也可以求方程组的近似根. 此时需要用大括号将多个方程括起来, 同时也要给出各个未知数的初值. 例如,
FindRoot[{f[x,y]= =0,g[x,y]= =0},{x,a},{y,b}]
由于这个命令需要初值, 应先作函数的图形, 确定方程有几个根, 以及根的大致位置, 或所在区间, 以分别输入初值求根.
命令的主要选项有: (1) 最大迭代次数:MaxIterations->n, 默认值是15. (2) 计算中保持的有效数字位数:WorkingPrecision->n, 默认值是16位. 3.求函数极小值的近似值的命令FindMinimum 命令的基本格式为 FindMinimum[f[x],{x,a}, 选项] 执行后得到函数在初值a附近的一个极小值的近似值。这个命令的选项与FindRoot相同, 只是迭代次数的默认值是30. 如果求函数f(x)的极大值的近似值, 可以对函数?f(x)用这个命令. 不过, 正确的极大值是所得到的极小值的相反的数. 使用此命令前, 也要先作函数的图形, 以确定极值的个数与初值. 4.作平面图元的命令Graphics 如果要在平面上作点、圆、线段和多边形等图元, 可以直接用命令Graphics. 输入 g1=Graphics[Line[{{1,-1},{6,8}}],Axes->True] 执行后得到以(1,-1)和(6,8)为端点的直线段. 实际上Show命令中可以添加命令Graphics的所有选项. 如果要作出过已知点的折线, 只要把这些点的坐标组成的集合放在命令Line[ ]之内即可. 如输入 Graphics[Line[{{0,0},{1,2},{3,-1}}],Axes->True] 输出为图. 2.01.51.00.50.51.01.52.02.53.0?0.5?1.0
3.2设计实验
3.2.1求函数的单调区间
例1 求函数y?x?2x?1的单调区间.
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3
输入
f1[x_]:=x^3-2x+1;
Plot[{f1[x],f1 ' [x]},{x,-4,4},PlotStyle->{GrayLevel[0.01],Dashing[{0.01}]}] 则输出如图.
4020?4?2?20?4024 图中的虚线是导函数的图形. 观察函数的增减与导函数的正负之间的关系. 再输入 Solve[f1 ' [x]==0,x] 则输出 ?2???????x??????,?x??3????????2??????3???? 即得到导函数的零点?2/3. 用这两个零点, 把导函数的定义域分为3个区间. 因为导函数连续, 在它的两个零点之间, 导函数保持相同符号. 因此, 只需在每个小区间上取一点计算导数值, 即可判定导数在该区间的正负, 从而得到函数的增减. 输入 f1' [-1] f1' [0] f1' [1] 输出为1,-2,1. 说明导函数在区间??,?2/3,?2/3,2/3,?????2/3,??上分别取?+,-和+. 因此函数在区间??,?2/3?和?2/3,??上单调增加, 在区间
??????2/3,2/3?上单调减少. ??
3.2.2求函数的凹凸区间和拐点 例2 求函数y?1的凹凸区间和拐点. 21?2x输入
f3[x_]:=1/(1+2x^2);
Plot[{f3[x],f3'' [x]},{x,-3,3},PlotRange->{-5,2}, PlotStyle->{GrayLevel[0.01],Dashing[{0.01}]}]
输出如图, 其中虚线是函数的二阶导数. 观察二阶导数的正负与函数的凹凸之间的关系.
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