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例15：26. （2015.哈尔滨） AB,CD是⊙O的两条弦，直线AB，CD互相垂直，垂足为点E，连接AD，过点B作BF⊥AD,垂足为点F，直线BF交直线CD于点G.
（1） 如图1，档点E在⊙O外时，连接BC，求证BE平分∠GBC； （2） 如图2，当点E在⊙O内时，连接AC，AG,求证：AC=AG；
（3） 如图3，在（2）的条件下，连接BO并延长交AD于点H，若BH平分∠ABF,AG=4，tan∠D=
，求线段AH的长.
例16：24.（2015.南昌）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.例如图1，图2，图3中，AF,BE是△ABC的中线, AF⊥BE , 垂足为P.像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”.设BC=a,AC=b,AB=c. 特例探索 （1）如图1，当∠ABE=45°，c=2
时，a= ，b= ；
如图2，当∠ABE=30°，c=4时， a= ，b= ；
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归纳证明
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2b2c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证 明你发现的关系式； 拓展应用
（3）如图4，在□ABCD中，点E,F,G分别是AD,BC,CD的中点，BE⊥EG, AD= 2,AB=3. 求AF的长.
例17：24. （2015年广东9分）⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过BC的中点P作⊙O的直径PG交弦BC于点D，连接AG， CP，PB. （1）如题图1；若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数；
（2）如题图2，在DG上取一点k，使DK=DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四边形；
（3）如题图3，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH⊥AB.
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例18：26（2015.河北) 平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图15－1摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ=60°，OQ=OD=3，OP=2，OA=AB=1，让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为α（0≤α≤60）. 发现：(1)当α=0°，即初始位置时，点P 直线AB上. (填“在”或“不在”)， 求当α是多少时，OQ经过点B？
(2)在OQ旋转过程中，简要说明α是多少时，点P，A间的距离最小？并指出这个最小值；
(3)如图15－2，当点P恰好落在BC边上时，求α及S阴影. 拓展：如图15－3，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM=x(x>0)，用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围. 探究：当半圆K与矩形ABCD的边相切时，求sinα的值.
例19：23.(2015.陕西) 如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B作⊙O的切线DE，与AC的延长线交于点D，作AE⊥AC交DE于点E． (1)求证：∠BAD=∠E；
(2)若⊙O的半径为5，AC=8，求BE的长．
例20：25. (2015.陕西) 如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12．
(1)如图 1，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则△BMC的面积为 ；
(2)如图 2，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值；
(3)如图 3，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小？若存在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由．
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例21：23.(2015.安徽) 如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过
点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC．
(1)求证：AD＝BC；
(2)求证：△AGD∽△EGF；
(3)如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求 AD/EF的值．
例22：22（2015.河南）如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE. 将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.
（1）问题发现
① 当α=0°时，AE/BD=_____________； ② 当α=180°时，AE/BD=__________ （2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，AE/BD的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明. （3）问题解决
当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长.
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例23：21（2015.黄冈）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O 交AB 于点M，交BC 于点N，连接AN,过点C 的切线交AB 的延长线于点P. （1）求证：∠BCP=∠BAN; （2）求证：AM/MN=CB/BP
例24：23．（2015?山西）综合与实践：制作无盖盒子
任务一：如图1，有一块矩形纸板，长是宽的2倍，要将其四角各剪去一个正方形，折成高为4cm，容积为616cm3
的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）．
（1）请在图1的矩形纸板中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕． （2）请求出这块矩形纸板的长和宽．
任务二：图2是一个高为4cm的无盖的五棱柱盒子（直棱柱），图3是其底面，在五边形ABCDE中，BC=12cm，AB=DC=6cm，∠ABC=∠BCD=120°，∠EAB=∠EDC=90°． （1）试判断图3中AE与DE的数量关系，并加以证明．
（2）图2中的五棱柱盒子可按图4所示的示意图，将矩形纸板剪切折合而成，那么这个矩形纸板的长和宽至少各为多少cm？请直接写出结果（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕．纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计）．
例25：25．（2015?吉林）两个三角板ABC，DEF，按如图所示的位置摆放，点B与点D重合，边AB与边DE在同一条直线上（假设图形中所有的点，线都在同一平面内）．其中，∠C=∠DEF=90°，∠ABC=∠F=30°，AC=DE=6cm．现固定三角板DEF，将三角板ABC沿射线DE方向平移，当点C落在边EF上时停止运动．设三角板平移的距离为x（cm），两个三角板重叠部分的面积为y（cm2）． （1）当点C落在边EF上时，x= cm；
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