错误！未找到引用源。第二章 导数与微
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内容概要 名称 主要内容 导数的定义f(x0??x)?f(x0) ?x?0?xf(x0?h)?f(x0) f?(x0)?limh?0hf?(x0)?limf?(x0)?limx?x0 函数的求导法则f(x)?f(x0) x?x0(1) 导数的四则运算法则 错误！未找到引用源。.[u(x)?v(x)]??u?(x)?v?(x) ??错误！未找到引用源。.[u(x)?v(x)]??u?(x)v(x)?u(x)v?(x) u(x)u?(x)v(x)?u(x)v?(x)?错误！未找到引用源。.[]?(v(x)?0) v(x)v2(x)(2) 复合函数的求导法则(链式法则) dydydu?? dxdudx(1)求隐函数的导数时,只需将确定隐函数的方程两边同时对自变量x求导,凡遇到含有因变量y隐函数的导数 的项时,把y当作中间变量看待,再按照复合函数求导法则求之,然后从所得等式中解出dy dx(2)对数求导法:对幂指函数y?u(x)v(x),可以先在函数两边取对数,然后在等式两边同时对自变量x求导,最后解出所求导数 反函数的导数等于直接函数导数的倒数,即 反函数的导数 f?(x)?1,其中x??(y)为y?f(x)的反函数 ??(y) (1) 直接法:利用基本求导公式及导数的运算法则,对函数逐次地连续求导 (2) 间接法:利用已知的高阶导数公式,通过导数的四则运算,变量代换等方法,间接求出指定的高高阶导数阶导数 (3)莱布尼茨公式 (uv)(n)kn?kk??Cnuv k?0n
习题2-2
★ 1. 计算下列函数的导数：
知识点：基本初等函数的导数和导数的四则运算法则
思路：利用基本初等函数的导数和导数的四则运算法则求导数
(11)
y?xlog2x?ln2
解:y??(xlog2x)??(ln2)??x?log2x?x(log2x)??0?log2x?★ 6.求下列函数的导数:
1 ln2知识点：导数的四则运算法则和复合函数的求导法则
思路：利用导数的四则运算法则和复合函数的求导法则求导数
(7)
xy?(arcsin)2;
2(10)
y?10xtan2x;
xxx1x?(arcsin)??2arcsin??()??2221?(x2)222arcsin4?xx2解:y??2arcsin2
y??10xtan2x?ln10?(xtan2x)??10xtan2xln10[tan2x?xsec22x?(2x)?]
?10★★ 7.设
xtan2xln10(tan2x?2xsec22x)
f(x)为可导函数,求
dy: dx知识点：复合函数的导数
思路：利用链式法则求复合函数的导数 (3)y?f(arcsin).
解:y??f?(arcsin)?(arcsin)??f?(arcsin)?1x1x1x1x11?1x2?(?1) 2x ??f?(arcsin)?
★★ 10.已知
11 2x|x|x?11x，求f?(x). f()?x1?x
知识点：抽象函数的导数
思路：利用换元法求函数表达式，然后求导数
11?t,则x? xt11111 ?f(x)? ?f?(x)?( )????f(t)?t?211?t1?x(1?x)1?x1?t解:令
习题2-3
★★ 6.若
d2yf??(x)存在,求下列函数的二阶导数2:.
dx知识点: 高阶导数,复合函数的求导法则 思路: 利用链式法则求导 (1)y?f(x); (2)y?ln[f(x)].
解:y??f?(x)?3x ?y???6xf?(x)?3xf??(x)?3x?6xf?(x)?9xf??(x)
3232323433f??(x)?f(x)?[f?(x)]2f?(x)解:y?? ?y??? 2[f(x)]f(x)习题2-4
1.求下列方程所确定的隐函数
y的导数
dydx:
知识点: 隐函数的导数
思路: 方程两边同时对自变量x求导,凡遇到含有因变量y的项时,把y当作中间变量看待,再按照复合
函数求导法则求之,然后从所得等式中解出
★ (3)
dy dxexy?y3?5x?0;
xy2解:方程两边同时对x求导,得 e?(y?xy?)?3yy??5?0
5?yexy 解得y??xexy?3y2★ (4)
y?1?xey;
yy解:方程两边同时对x求导,得 y??e?xey?
ey 解得y??1?xey
d2y2.求下列方程所确定的隐函数y的导数: 2dx知识点: 隐函数的导数,高阶导数
思路: 方程两边同时对自变量x求导,凡遇到含有因变量y的项时,把y当作中间变量看待,再按照复合
函数求导法则求之,然后从所得等式中解出求导
★★ (3)
dy,再对一阶导数利用导数四则运算法则和复合函数求导法则dxy?tan(x?y).
2解: 方程两边同时对x求导,得 y??sec(x?y)(1?y?)
?sec2(x?y)122??1?cot(x?y)??csc(x?y) ??1? 解得y??22sec(x?y)?1sec(x?y)?1?y???2csc2(x?y)cot(x?y)(1?y?)?2csc2(x?y)cot(x?y)[1?csc2(x?y)]
??2csc(x?y)cot(x?y)
3.用对数求导法则求下列函数的导数:
23知识点: 对数求导法
思路: 在函数两边取对数,然后在等式两边同时对自变量x求导,最后解出所求导数★
(1)
y?(1?x2)tanx;
2解:等式两边同时取对数,得 lny?tanxln(1?x)
等式两边同时对x求导,得
12xy??sec2xln(1?x2)?tanx?y1?x2
?y??(1?x52tanx)[sec2xln(1?x2)?2xtanx]
1?x2★★ (2)
y?x?333x?2
x?2解: 等式两边同时取对数,得
111lny?ln(x?3)?ln(3x?2)?ln(x?2)
532等式两边同时对x求导,得
11(x?3)?1(3x?2)?1(x?2)?y??????? y5x?333x?22x?2?y??5x?333x?2111[??] 5(x?3)3x?22(x?2)x?28.求下列参数方程所确定的函数的导数
dy: dx思路: 利用参数方程表示的函数的求导公式求一阶导数,再将t看作中间变量利用复合函数求导法则求二
阶导数,
?x?1?t2★★ (2) ?; 3?y?t?tdyyt?1?3t21?3t2????解:
dxxt??2t2t
d2yd1?32td1?32tdt?62?t21 ?2?(?)?(?)??2?dxdx2tdt2tdx4t?2★ 4.设函数
23?t1??3 t4ty?y(x)由方程y?xey?1确定,求y?(0),并求曲线上其横坐标x?0处点的切线方程
与法线方程.
思路: 方程两边同时对自变量x求导,凡遇到含有因变量y的项时,把y当作中间变量看待,再按照复合
函数求导法则求之,然后从所得等式中解出
dy dxyey解: 方程两边同时对x求导,得 y??e?xey??0 解得 y??1?xeyy
当x?0时,y?1 ?在x?0处切线的斜率k?y?(0)?e
?0处的切线方程为y?1?ex,即y?ex?1
11y?1??x,即y??x?1
ee ?x 法线方程为
?x?ln(1?t2)★★ 6.求曲线?在t?1对应点处的切线方程和法线方程.
y?arctant?知识点: 参数方程表示的函数的导数
思路: 利用参数方程表示的函数的求导公式求导 1dy1解:dy?1?t2?1 ?|t?1?
dx22tdx2t1?t2当t?1时,x?ln2,y??4
? 在t?1对应点处的切线方程为y??111??(x?ln2), 即y?x?ln2? 42224