知识点：分部积分法
思路：用分部积分去多项式函数
??xcosx?/333dx??xdcotx??xcotx?dx 解: ??3??2???/44sinx44sinx? ??(
?3??)?lnsinx334??/3?/41313?(?)??ln.
4922第六章定积分的应用
内容概要 名称 定定积分的元素法是一种简单记忆定积分（A?积分1、将?Ai?f(?i)?xi记为dA?f(x)dx 的元nb写为 素 2、将lima??0i?1法 主要内容 b?af(x)dx）三步骤的方法： ??平直角坐标系 面图形的面积 极坐标系 X-型 Y-型 a?x?bc?y?d??DA:? DA:? f(x)?y?f(x)g(y)?x?g(y)22?1?1A??(f2(x)?f1(x))dx A??(g2(y)?g1(y))dy acbd??????DA:? ?0?r?r(?)旋转体体积 绕x轴旋转： A??1?2?r2(?)d? 体积 ?a?x?bDA:??0?y?f(x) V???f2(x)dx ab绕y轴旋转： V??2?xf(x)dx ab已知平行截面面积的立体体积 已知垂直于已知垂直于y轴x轴的平面截立的平面截立体所体所得截面面积得截面面积为为A(x),立体又A(y),立体又被被夹于x?a和夹于y?c和x?b两平面间，y?d两平面则： 间，则： 绕y轴旋转： ?c?y?ddDA:? 2V??g0?x?g(y)??(y)dy cV??A(x)dx abV??A(y)dy cd平直角坐标 参数方程 极坐标 面?x??(t) L：y?f(x)，x?[a,b] L：r?r(?)，?????；(??t??) 曲L：??y??(t)线ds?1?y?2dx； ds?r2(?)?r?2(?)d?； 的ds???2(t)???2(t)dt b?弧2?s?1?ydx s?r2(?)?r?2(?)d? ?a?长 s???2(t)???2(t)dt ????物理应用：1、变力沿直线作功 2、水压力 3、引力
习题6-2
★★5．求由曲线
y?1与直线y?x及x?2所围图形的面积 x知识点：平面图形面积
思路：由于所围图形表达为X-型,解法较简单，所以用X-型做 解：见图6-2-5 y?x D y
y?1/x 1
x
1 2 0
图6-2-5 ∵两条曲线y?1和y?x的交点为（1，1）、（-1，-1），又这两条线和x?2分别交于 x (2, )、(2, 2)
121?x?2??1∴所围区域D表达为X-型：?，
?y?x??x∴SD??21113(x?)dx?(x2?lnx)??ln2
x221y?ex、y?e?x与直线x?1所围图形的面积
2★★★7．求由曲线
知识点：平面图形面积
思路：由于所围图形表达为X-型时，解法较简单，所以用X-型做 解：见图6-2-7
y y?e?x 1 y?ex D x 0 图6-2-7 1 ∵两条曲线y?e和y?e (1, e)和(1, e)
?1x?x的交点为（0，1），又这两条线和x?1分别交于
∴所围区域D表达为X-型：?∴SD??0?x?1， ?xx?e?y?e10?10(ex?e?x)dx?(ex?e?x)?e?e?1?2
习题6-3
1． 求下列平面图形分别绕x轴、y轴旋转产生的立体体积：
★(1)．曲线
y?x与直线x?1、x?4、y?0所围成的图形；
y D知识点：旋转体体积
思路：作出平面图形（或求出该平面区域的x、
， y范围）
代入相应的公式。 解：平面图形D：?
绕x轴旋转产生的立体体积： V? 绕y轴旋转产生的立体体积：V? y?x ?1?x?4，见图6-3-1-1
0?y?x?0 14 x 图6-3-1-1 ?41?(x)2dx?15?； 2?412?xxdx?124?(和书上答案不同) 5
易考点，P279.11（找不到，自己看吧） 名称 标准形式 可分离变方程通解为量型 若g(y0)齐次微分方程 形如解法或通解公式 dy?f(x)g(y) dx解法:设g(y)?0，整理为1dy?f(x)dx ，两边积分得 g(y)?1； dy??f(x)dx （通常为隐函数形式）g(y)?0得y?y0也为原方程的解。 dy?y?形如???? dx?x?解法：令u?yx， 即y?ux，则dydu，代入原方程得?u?xdxdxu?xdu??(u)dx， 分离变量得du?dx?(u)?ux， 两端积分du?dx， 求出积分后? 再用y??(u)?u?xx通解。 可化为齐次的微分方程 形如代替u? 便得所给齐次方程的解法：联立??a1x?b1y?c1?dy?f??ax?by?c??dx22??2 ?a1x?b1y?c1?0 ， ax?by?c?022?2?X?x?x0， 即 Y?y?y0?1.方程组有解， 求得交点(x0,y0)，作平移变换?dYdy?x?X?x0，则有，原方程就化为齐次方程 ??y?Y?ydXdx0??a1X?b1Y?dY?X?x?x0??f?,求得通解再回代即得原方程通??aX?bY?Y?y?ydX0?2??2解； 2.方程组无解，做变量代换u?a1x?b1y，则dudy，原?a1?b1dxdx方程化为可分离变量方程，求得通解再回代即可。
1.指出下列微分方程的通解：
★（2）
x(y2?1)dx?y(x2?1)dy?0；
解：分离变量得
yxdy??dx，
y2?1x2?1两边积分
?yxdy??dx， 22?y?1x?1即
11lny2?1??lnx2?1?C1， 222化简得 (y故通解为(y2?1)(x2?1)??e2C1，
?1)(x2?1)?C，其中C为任意常数。 2. 求下列齐次方程的通解：
yx★(4)
y??e?yx ；
解：令u?yx， 则原方程化为 u?u?xdudu?eu?u，即x?eu， dxdx分离变量得 edu?1dx， x两边积分得 ?e将u?u?lnx?C1，即?u?lnC?lnx，
?yx代入上式得原方程的通解 ??uy?lnC?lnxx， 即
y??xlnC?lnx。
注：也可将?e
?lnx?C1中的C1改写为?C，与后面出现的C保持一致
一阶线性微分方程
内容概要 名称 标准形式 一阶若线性微分方程 性齐次微分方程，否则称为一阶线性非齐次微分方程。 形如解法或通解形式 解法：1.齐次线性方程?P(x)dxy?Ce? ； dy?P(x)y?Q(x)，dxdy?P(x)y?0是可分离变量方程，通解为dxQ(x)?0称为一阶线2. 非齐次线性方程的通解为 ?P(x)dxP(x)dxy?e?[?Q(x)e?dx?C]， 或 贝努利型 形如 ?P(x)dx?P(x)dx?P(x)dxdx。 y?Ce??e?Q(x)e?解法：方程的两边同除以yn，得 y?ndy?P(x)y?Q(x)yndx(n?0， 1) dy?P(x)y1?n?Q(x) ，令dxz?y1?n ， 得 dz?(1?n)P(x)z?(1?n)Q(x)，解得线性微分方程dx的解，回代即得原方程通解。 1.求下列微分方程的解：
知识点：一阶线性微分方程的解法。
dy?y?2(x?2)3； dxdy1解：原方程变形为?y?2(x?2)2。
dxx?2★(3)
(x?2)其中P(x)??12，Q(x)?2(x?2)， x?211??dx?dx代入公式得 y?ex?2[2(x?2)2?ex?2dx?C]
??(x?2)[?2(x?2)2?1dx?C]
x?2?(x?2)[(x?2)2?C]?(x?2)3?C(x?2),
即为原方程通解。
★★4 设连续函数
xy(x)满足方程y(x)??y(t)dt?ex，求y(x)。
0x解：方程两边关于x求导，得 y?(x)?y(x)?e，为一阶线性非齐次微分方程。
利用公式得通解为
dx?dxy?e?(?exe?dx?C)?ex(?dx?C) ?ex(x?C)。
由
yx?0?1，得C?1，
故所求曲线的方程为
y?ex(x?1)。
6.求下列伯努利方程的通解：
★★(1)
y??3xy?xy2；
解： 原方程可变形为
1dy?3x1?x，
yy2dxdzdy， ??y?2dxdxdz代入原方程得线性方程：?3xz??x。
dx令z?y?1,代入通解公式得 z3?x22?3xdx3xdx?e?[?(?x)?e?dx?C]
即
y?1?e(??xe32x23x2?3x2?3x211dx?C) ?e2(?e2?C)?Ce2?，
33?x211原方程的通解为?Ce2?。
y33