法线方程为
y??4??2(x?ln2), 即y??2x?2ln2??4
习题2-1
★★ 9.设
?sinx,x?0f(x)??,求f?(x).
x,x?0?知识点：分段函数的导数
思路：分段函数在每一段内可以直接求导，但是在分段点处要利用导数的定义求导 解：当x?0时，f?(x)?(sinx)??cosx
当x当x?0时，f?(x)?x??1 ?0时，f??(0)?lim?f(x)?f(0)x?lim?1
x?0x?0?xx?0f(x)?f(0)sinx f_?(0)?lim?lim?1 ?x?0?x?0x?0x?f?(0)?1
?cosx,x?0
?f?(x)??x?0?1,1?2xsin,x?0?★★ 10.试讨论函数y??在x?0处的连续性与可导性. x?x?0?0,知识点：函数在某点连续与可导的定义
思路：利用函数在某点连续与可导的定义判断 解: limf(x)?limxsinx?0x?021?0?f(0) x ?y?f(x)在x?0处连续.
1(?x)2sin?0?y?x lim?lim??x?0?x?x?0?x12 ?y?xsin在x?0处可导.
x总习题二
★★ 10.试确定a,b，使
x?0?li?mx[(1)s?in ?x]0?b(1?sinx)?a?2,x?0f(x)??在x?0处可导. axe?1,x?0?知识点: 连续与可导的定义
思路: 可导一定连续,由连续性和可导得方程组求解 解：若f(x)在x?0处可导，则f(x)在x?0处连续
?limf(x)?limf(x)?f(0) ?a?b?2?0① ??x?0x?0要使
f(x)在x?0处可导，则f??(0)?f_?(0)
x?0而
f??(0)?lim?f(x)?f(0)b(1?sinx)?a?2?lim??lim(bcosx)?b ??x?0x?0xxf(x)?f(0)eax?1axf_?(0)?lim?lim?lim(ae)?a ?a?b② ??x?0?x?0x?0xx由①②得a
?b??1
内容概要 名称 3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性 主要内容（3.4） 函数单调性的判别法：设（1）若在(a,b)内（2）若在(a,b)内y?f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则 f?(x)?0，则y?f(x)在[a,b]上单调增加； f?(x)?0，则y?f(x)在[a,b]上单调减少。 f(x)在区间I内连续，如果对I上任意两点x1,x2，恒有 1） 曲线凹凸性的概念：设f(x1?x2f(x1)?f(x2))?22，则称f(x)在I上的图形是凹的；如果恒有 f(x1?x2f(x1)?f(x2)，则称f(x)在I)?22上的图形是凸的。 2）拐点的概念：连续曲线上凹弧与凸弧的分界点成为曲线的拐点。 曲线凹凸性的判别法：设（1）若在(a,b)内（2）若在(a,b)内f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，则 f??(x)?0，则y?f(x)在[a,b]上的图形是凹的； f??(x)?0，则y?f(x)在[a,b]上的图形是凸的。
习题3-4
1.单调性的判别法
★1.证明函数
y?x?ln(1?x2)单调增加。
知识点：导数的应用。
思路：利用一阶导数符号判断函数的单调性是常用的方法。在某个区间I上，f?(x)?0（f?(x)?0），
则
f(x)在I单调增加（减少）。
2x(1?x)2证明：∵y??1?， ??0（仅在x?1处y??0）
1?x21?x2∴
y?x?ln(1?x2)在(??,??)内是单调增加的。
2.单调区间的求法 P151.例3
3.函数极值的求法 P157,例11 4.证明不等式 P159.4（4），P181.26（这题没找到）
★★4.证明下列不等式：
（4）0?x?π13时，tanx?x?x。 23思路：利用泰勒公式可以证明一些不等式（见习题3-3第10题），利用函数单调性也是证明不等式常用的
方法。
π22时，有g?(x)?secx?1?tanx?0 2ππ从而g(x)?tanx?x在(0,)内严格单增，∴g(x)?g(0)?0，即在(0,)内tanx?x；
2213再令f(x)?tanx?x?x，
3π2222则当0?x?时，f?(x)?secx?1?x?tanx?x?0，
213π从而f(x)?tanx?x?x在(0,)内严格单增，∴f(x)?f(0)?0，
23π13即在(0,)内tanx?x?x，结论成立。
23（4）令g(x)?tanx?x，则当0?x?5.凹凸与极点的判定 y”> 0 , y’= 0 极小
y”< 0 , y’= 0 极大 凹凸性自己看书
6.最值问题 P167.4(没找到自己看吧)
第4章 不定积分
内容概要 名称 不 定 积 分 的 概 念 设主要内容 f(x)， x?I，若存在函数F(x)，使得对任意x?I均有 F?(x)?f(x) 或dF(x)?f(x)dx，则称F(x)为f(x)的一个原函数。 上的不定积分，记为 f(x)的全部原函数称为f(x)在区间I?f(x)dx?F(x)?C 注：（1）若（2）若F(x),G(x)均为f(x)的原函数，则f(x)连续，则必可积；F(x)?G(x)?C。故不定积分的表达式不唯一。 不 定 积 分 性 质 性质1：性质2：性质3：d?f(x)dx??f(x)dx； f(x)dx??f(x)或d???????dx?F?(x)dx?F(x)?C或?dF(x)?F(x)?C； ?[?f(x)??g(x)]dx???f(x)dx???g(x)dx，?,?为非零常数。 设计 算 方 法 第一换元 积分法 （凑微分法） 第二类 换元积 分法 f(u)的 原函数为F(u)，u??(x)可导，则有换元公式： ?f(?(x))??(x)dx??f(?(x))d?(x)?F(?(x))?C 设x则 ??(t)单调、可导且导数不为零，f[?(t)]??(t)有原函数F(t)，f(x)dx??f(?(t))??(t)dt?F(t)?C?F(??1(x))?C ?分部积分法 ?u(x)v?(x)dx??u(x)dv(x)?u(x)v(x)??v(x)du(x) 若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处理按情况确定。 有理函数积分 本章 的地 位与 作用 在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！
习题4-2
2、求下列不定积分。
知识点：（凑微分）第一换元积分法的练习。
思路分析：审题看看是否需要凑微分。直白的讲，凑微分其实就是看看积分表达式中，有没有成块的形
式作为一个整体变量，这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效，这在课外例题中专门介绍！
★(4)
?135?3xdx
思路:凑微分。
12?1111133dx??d(5?3x)??(5?3x)d(5?3x)??(5?3x)?C.解：???333325?3x5?3x★★(6)
?costtdt
思路:如果你能看到d(t)?12tdt，凑出d(t)易解。
解：
?costtdt?2?costd(t)?2sint?C
★★(8)
dx?xlnxlnlnx
思路:连续三次应用公式(3)凑微分即可。 解：
dxd(ln|x|)d(ln|lnx|)???xlnxlnlnx?lnxlnlnx?lnlnx?ln|lnlnx|?C
2cos?(?t)sin(?t)dt
★★(14)
思路:凑微分。
解：cos2(?t)sin(?t)dt??1?2cos?(?t)sin(?t)d?t??1?2cos?(?t)dcos(?t)
??
1cos3(?t)?C. 3?3、求下列不定积分。
知识点：（真正的换元，主要是三角换元）第二种换元积分法的练习。
思路分析：题目特征是----被积函数中有二次根式，如何化无理式为有理式？三角函数中，下列二恒等
式起到了重要的作用。
sin2x?cos2x?1;sec2x?tan2x?1.
为保证替换函数的单调性，通常将交的范围加以限制，以确保函数单调。不妨将角的范围统统限制在锐角范围内，得出新变量的表达式，再形式化地换回原变量即可。
★★★(1)
?1?dx1?x2
思路:令x?sint,t?解：令x?sint,t??2，先进行三角换元，分项后，再用三角函数的升降幂公式。
?2dxcostdtdtdttt??????dt???t???t??sec2d
t1?cost1?cost221?1?x22cos221?1?x2tx?C） ?t?tan?C?arcsinx??C.（或?arcsinx?2x21?1?x（万能公式tan★★★(3)
，则dx?costdt。
tsint1?cost2，又sint?x时，cost?1?x） ??21?costsint3?dx(x?1)2
思路:令x?tant,t??2，三角换元。