解：令x?tant,t??2，则dx?sectdt。
2??(6)
sec2tdtdtx????costdt?sint?C??C3??232sectsect(x?1)1?xdx★★★
?5?4x?x2dx
思路:三角换元，关键配方要正确。
解：?5?4x?x?9?(x?2)，令x?2?3sint,t?22?2，则dx?3costdt。
??5?4x?x2dx??9cos2tdt?9?9x?2x?2?arcsin?5?4x?x2?C.232
1?cos2tt1dt?9(?sin2t)?C224
分部积分····例2，例3
习题4-3
1、 求下列不定积分：
知识点：基本的分部积分法的练习。 思路分析：严格按照“‘反、对、幂、三、指’顺序，越靠后的越优先纳入到微分号下凑微分。”的原则进行分部积分的练习。
★★（2）
2ln(1?x)dx ?思路：同上题。
2x2x22dx?xln(1?x)??dx 解：?ln(1?x)dx?xln(1?x)??x221?x1?x222(x2?1)?2dx2?xln(1?x)??dx?xln(1?x)?2dx?2??1?x21?x2?xln(1?x2)?2x?2arctanx?C.2★★
(4)e??2xxsindx
2?2x思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：?e?xx11x11xsindx??sind(?e?2x)??e?2xsin??e?2xcosdx
222222221x1x1??e?2xsin??cosd(?e?2x)224221x11x1x??e?2xsin?(?e?2xcos??e?2xsindx)2242242
1?2xx1?2xx1?2xx??esin?ecos??esindx2282162x2e?2xxx?2x??esindx??(4sin?cos)?C.21722
第五章 定积分
内容概要 名 主要内容 称 微积分基本公式 定积分换元公 设函数牛顿-莱布尼茨公式： 如果F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则 b ?baf(x)dx?F(b)?F(a)?F(x)a d?(x)(?f(t)dt)?f(?(x))??(x)?f(?(x))??(x) ?(x)dx积分上限函数的导数：f(x)在区间[a,b]上连续，函数x??(t)满足条件： （１）?(?)?a,?(?)?b，且a??(t)?b（２）?(t)在区间[?,?]上具有连续导数， 则有 ?baf(x)dx??f[?(t)]??(t)dt ??式 运用定积分换元公式时，换元必须变换积分上下限，换元后直接计算得到结果，不必回代原变量． ?baf(x)dx?x??(t)???f[?(t)]??(t)dt?F(t)a ?f[?(t)]??(t)dt??b?x??(t)b?af(x)dx?F(x)ab（其中F?(t)?分部积分公式 广义积分 f(?(t))??(t)） bb（其中F?(x)?f(x)） 公式：?bauv?dx?[uv]a??u?vdx （其中u?u(x),v?v(x)） ab注：当[uv]a不存在时，请正确使用公式：①求 ② 无穷限广义积分的计算（F?(x)??uv?dx?uv??vu?dx?F(x)?C uv?dx?F(x)a 无界函数的广义积分的计算（F?(x)?①x?a为暇点 f(x)）b?baf(x)） ???af(x)dx?F(x)a?limF(x)?F(a)x??????????f(x)dx??f(x)dx????a??af(x)dx ?baf(x)dx?F(x)a?F(b)?limF(x) x?ab?????af(x)dx收敛当且仅当 f(x)dx,???a②x?a为暇点，a?(b,c) ?对称 性 应用 ??f(x)dx都收敛 ?cbf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx baaaac左收敛当且仅当右两项都收敛 设f(x)在[?a,a]上连续，则（１）当f(x)为偶函数，有?f(x)dx?2?f(x)dx ?aa0 （２）当f(x)为奇函数，有?f(x)dx?0 ?a 积分上限函数的导数*看P230例3 习题5-3
★2．计算下列各导数:
dx3dt(2)
dx?x21?t4; 知识点：积分上限函数求导公式
x2dx3dtdx3dtdt1d(x3)1d(x2)?[?]??. 解：
3424dx?x21?t4dx?01?t4?01?t4dxdx1?(x)1?(x) ?x23x21?x12?2x1?x8 ★★3．设
g(x)??0dx1?x3，求g??(1)。
知识点：积分上限函数求导公式
思路：先利用积分上限函数导数公式和商的求导公式求出各阶导数,再把特殊点代入计算
2(1?x6)?6x5?2x2?10x62x?, 解：g?(x)?, g??(x)?(1?x6)2(1?x6)21?x6 所以g??(1)?2?10??2. 2(1?1)★★★6．求下列极限：
?(3) limx?0x201?t2dtx2;
知识点：积分上限函数求导公式；罗必达法则
?解: limx?0x201?tdtx22?limx?0(?x201?t2dt)?(x2)?1?x4?2x?lim?1. x?02x
习题5-4
★★1．用定积分换元法计算下列各积分
?(12)
??sinxcos2xdx
2?2知识点：定积分换元法（凑微分：sinxdx??d(cosx)） 思路：用三角公式化被积函数为可求积分的函数
??2???解:
?2??2sinxcos2xdx??2?sinx(2cosx?1)dx???2?(2cos2x?1)dcosx
2223?0. ?(cosx?cosx)3??/2??/2(13)
?2??2cosx?cos3xdx
知识点：定积分换元法
思路：用三角公式化被积函数为可求积分的函数
???解:
??2?2cosx?cosxdx?2?32??2cosxsinxdx?2?2?cosxsinxdx
?22 ??2?12(cosx)33?/2204?. 3(14)
?002x?x2dx
知识点：定积分换元法（变量代换去根号） 解:
?12x?xdx??1?(x?1)d(x?1)?00212x?1?sint???02costdsint???cos2tdt
?201011??. ???(1?cos2t)dt?(t?sin2t)2?2224??/2(15)
?0202?x2dx
x?2sint知识点：定积分换元法（变量代换去根号） 解:
?2?20?20?02?xdx2?2?21?sintd(2sint)?2?2costdt??2(1?cos2t)dt
1?1??sin2t???0?. 22220?/2 ?t?/20(16)
?3dxx211?x2 知识点：定积分换元法 方法一：用三角代换去根号 解:
?3dxx21?x2x?tanu?1???34?sec2ududsinu1233????2?. ?22?tanusecusinu?/434sinu?/3方法二：倒代换
?3dxx21?x2x?1/u1??? 331133d(1?u2)?????1?u2211?u21?u2udu3/31?2?23. 3(18)
?1?1xdx5?4x知识点：定积分换元法 思路：用变量代换去根号 解:
?1?1xdx5?4x5?4x?u31115?u2u13????du??(5?u2)du?(5u?u3)?.
316834u2811P237,例3（自己看呗）
★★2．用分部积分计算下列定积分
(3)
?10xarctanxdx
知识点：分部积分法
思路：利用分部积分去反三角函数
解
:
21x111122?0xarctanxdx?2?0arctanxd(x)?2[(xarctanx)0??01?x2dx] 1211?x?11?11??1?[??dx]??[x?arctanx]??. 20042241?x82（或者先变量代换再分部积分：
1?/42） td(tant)?0?0?02?/4?/41?1?/4?1?1?/4?[ttan2t??tan2tdt]???(sec2t?1)dt??tant0??）
00282042421xarctanxdxarctanx?t??/4ttantdtant?(8)
?41lnxdx x知识点：分部积分法
思路：用分部积分去lnx 解:
??4144lnxdx?2?lnxdx?2[(xlnx?2x)]?4(2ln2?1).
11x?(9) ?34xdx 2sinx