位置．记A、C两脚与地面距离之和为f???，B、D两脚与地面距离之和为g???．显然f(?)?0，g(?)?0．
由假设2，f和g都是连续函数．由假设3，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，所以对于任意的?，f???和g???中至少有一个为零．不妨设g(0)?0，f(0)?0．这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为证明如下的数学命题：
已知f???和g???都是?的连续函数，对于任意的?，
，f(0)?0．证明存在?0，使f(?)?g????0，且g(0?)0f(?0)?g??0??0．
B B? A?
C O
C? D? D A x 模型求解 将椅子旋转
?2，对角线AC与BD互换．由g(0)?0，
??f(0)?0知g??2??????0，f???0． ??2????0．由于h连续，???令h????f(?)?g(?)，则h(0)?0，h??2 16
??根据连续函数的基本性质，必存在??0???0?02即f(?)?g???，使h(?0)?0，?0?0?．
0 最后，因为f(?)?g??0??0，所以f(?0)?g??0??0．
进一步讨论 利用中心对称性及旋转90?并不是本质的．模型假设中
“四脚的连线呈正方形”可以改为“四脚的连线呈长方形”，其余不变．
此时改设相邻两椅脚与地面距离之和分别为f???和g???，将椅子旋转90改为旋转180．其余作法相同．
??§5发射卫星为什么用三级火箭
问题的提出 现代使用的航天火箭几乎都分成几级．在使用时，总是
让第一级火箭先燃烧，当燃尽了全部推进剂以后，就被丢弃并点燃第二级火箭??．
采用运载火箭把人造卫星发射到高空轨道上运行，为什么不能用一级火箭而必须用多级火箭系统？为什么一般都采用三级火箭系统？
5．1为什么不能用一级火箭发射人造卫星
5.1.1卫星进入600km高空轨道时，火箭必须的最低速度
模型假设 （1）卫星轨道是以地球中心为圆心的某个平面上的圆周，卫星在此轨道上以地球引力作为向心力绕地球作平面匀速圆周运动；
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（2）地球是固定于空间中的一个均匀球体，其质量集中于球心； （3）其它星球对卫星的引力忽略不计．
建模与求解 设地球半径为Ｒ，中心为Ｏ，质量为Ｍ，曲线Ｃ表示地球表面，C?表示卫星轨道，C?的半径为ｒ，卫星质量为ｍ，如图所示．
C 卫星
r R M C?
根据假设(2)和(3)，卫星只受到地球的引力，由牛顿万有引力定律可知其引力大小为
F?G其中Ｇ为引力常数．
Mmr2， （1）
为消去常数Ｇ，把卫星放在地球表面，则由（1）式得
mg?G再代入（1）式，得
MmR2 或 GM?Rg，
218
?R? F?mg??， （2）
?r?其中g?9.81ms2?2?为重力加速度.
根据假设（1），若卫星围绕地球作匀速圆周运动的速度为v，则其向心力为
mvr2．因为卫星所受的地球引力就是它作匀速圆周运动
的向心力，故有
2?R?mv． mg???r?r?2由此便推得卫星距地面为（ｒ－Ｒ）km，必须的最低速度的数学模型为
v?Rgr. （3）
取R?6400 km，r?R?600 km，代入（3）式，得
v?7.6 km/s,
即要把卫星送入离地面600km高的轨道，火箭的末速度最低应为7.6 km/s．
5.1.２火箭推进力及升空速度
模型假设 （1）火箭在喷气推动下作直线运动，火箭所受的重力和空气阻力忽略不计；
（2）在t时刻火箭质量为m?t?，速度为v?t?，且均为时间t的连续可微函数；
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（3）从火箭末端喷出气体的速度（相对火箭本身）为常数u． 建模与分析 火箭在运动过程中不断喷出气体，使质量不断减少，在
?t,t??t?内的减少量为m?t??m?t??t?．因为喷出的气体相对于
地球的速度为v?t??u，由动量守恒定律，有
m?t?v?t??m?t??t?v?t??t???m?t??m?t??t??v?t??u
???d??m?t?v?t???dt?dm?t?dt???v?t??u?．
dvdm于是得火箭推进力的数学模型为
dtdt令t?0时，v?0??v0，m?0??m0，求解上式，得火箭升空速度的
数学模型为
m??u． （4）
v?t??v0?ulnm0m?t?． （5）
（4）式表明火箭所受推力等于燃料消耗速度与喷气速度（相对火箭）u的乘积．（5）式表明，在v0，m0一定的条件下，升空速度
v?t?由喷气速度（相对火箭）u及质量比
m0m?t?决定．这为提高火箭
速度找到了正确途径：从燃料上设法提高u值；从结构上设法减少
m?t?．
5.1.3一级火箭末速度上限
mF(燃火箭系统的质量可分为三部分:mp(有效负载，如卫星)，
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