料质量)，m(结构质量，如外壳、燃料容器及推进器)．一级火箭末
s速度上限主要是受目前技术条件的限制．
模型假设 （1）目前技术条件为：相对火箭的喷气速度u=3km/s及
?．
mF?ms9（2）初速度忽略v0不计，即v0?0．
建模与求解 因为升空火箭的最终（燃料耗尽）质量为mp?ms，由（5）式及假设（2）得到末速度为
ms1v?uln0． （6） m?mpsm令ms???mF?ms???m0?mp，代入上式，得
??v?ulnm0?m0??1???m， （7）
p于是，当卫星脱离火箭，即mp?0，便得火箭末速度上限的数学模型为
v?uln由假设（1），取u= 3km/s，??01?． （8）
19，便得火箭末速度上限
v0?3ln9?6.6 km/s．
因此，用一级火箭发射卫星，在目前技术条件下无法达到在相应高度所需的速度．
5.2理想火箭模型
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从前面对问题的假设和分析可以看出：火箭推进力自始至终在加速着整个火箭，然而随着燃料的不断消耗，所出现的无用结构质量也在随之不断加速，作了无用功，故效益低，浪费大．
所谓理想火箭，就是能够随着燃料的不断燃烧不断抛弃火箭的无用结构．下面建立它的数学模型．
模型假设 在?t,t??t?时段丢弃的结构质量与烧掉质量以?与1??的比例同时进行．
建模与分析 由动量守恒定律，有
m?t?v?t??m?t??t?v?t??t????m?t??m?t??t??v?t???
??1????m?t??m?t??t??v?t??u????dm?t?dtv?t???1?????d??m?t?v?t???dtdv?t??dm?t?dt?v?t??u?
dtdt由v?0??0，m?0??m0及上式，便得理想火箭升空速度的数学模型
为
?m?t????1???udm?t?.
v?t???1???ulnm0m?t?． （9）
由上式知，当燃料耗尽，结构质量抛弃完时，便只剩下卫星质量
mp，从而最终速度的数学模型为
v?t???1???ulnm0mp． （10）
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（10）式表明：当m足够大时，便可使卫星达到我们所希望它具有
0的任意速度．例如，考虑到空气阻力和重力等因素，估计要使v= 10.5km/s才行,如果取u= 3km/s，??0.1，则可推出
m0mp?50，即
发射1吨重的卫星大约需50吨重的理想火箭．
5.3多级火箭卫星系统
理想火箭是设想把无用的结构质量连续抛弃以达到最佳的上升速度，虽然这在目前的技术条件下办不到，但它确为发展火箭技术指明了奋斗目标．目前已商业化的多级火箭卫星系统便是朝着这种目标迈出的第一步．多级火箭是从末级开始，逐级燃烧，当第i级燃烧尽时，第i?1级火箭立即自动点火，并抛弃已经无用的第i级（这里用m表示第i级火箭质量，mip表示有效负载）．
模型假设 （1）设各级火箭具有相同的?，?m表示第i级的结构质
i量，?1???m表示第i级的燃料质量．
i（2）喷气相对火箭的速度u相同，燃烧级的初始质量与其负载之比保持不变，记该比值为K．
先考虑二级火箭．由（5）式，当第一级火箭燃烧完时，其速度为
v1?ulnm1?m2?mp?m1?m2?mp，
当第二级火箭燃烧完时，其速度为
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v2?v1?uln将v代入上式，得
1m2?mp?m2?mp，
v2?uln?????m1?m2?mp?m1?m2?mp?m2?mp，m?K?m2?mp?? ?． （11）
p??Km据假设（2），m?21??m?2??mp??，代入（11）式，??仍取u= 3km/s，近似取??0.1，可得
0.1K?1欲使v=10.5km/s，由（12）式，K?11.2，从而
2m1?m2?mpmp?149．
v2?6lnK?1． （12）
同理，可推算得三级火箭的末速度为
v3?uln及
?????m1?m2?m3?mp?m1?m2?m3?mp?m2?m3?mp?m3?m?m2?m3?mp?m3?mp???p??
0.K1?1欲使v= 10.5km/s，应该K?3.25，从而
3m1?m2?m3?mpmp?77．
v3?9lnK?1．
与二级火箭相比，在达到相同效果的情况下，三级火箭的质量几乎节省了一半．
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现记n级火箭的总质量(包括有效负载mp)为m,在相同假设
0下(u=3km/s，可以算出相应的m0mp值,v=10.5km/s，??0.1)，
末现将计算结果列于下表中:
n（级数） 1 2 3 4 5 ? ?（理想） m0mp × 149 77 65 60 ? 50 实际上，由于受技术条件的限制，采用四或四级以上的火箭，经济效益是不合算的，因此采用三级火箭是最好的方案．
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