即解得﹣
≤3， ≤k≤0．
．
∴实数k的最小值为﹣故答案为：﹣
．
13．（5分）如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若A，B，C，D四点均位于图中的“晶格点”处，且A，B的位置所图所示，则
的最大值为 24 ．
【解答】解：建立如图的直角坐标系，则A（，），B（0，0），
，），
那么容易得到C（0，5）时，D的位置可以有三个位置，其中D1（﹣D2（﹣此时
，0），D3（﹣=（﹣，﹣）， 则则
?
=21，
?
=24，
?
=22.5，
，﹣），
，）， =（﹣
，﹣），
=（﹣
，﹣5），
=（﹣
的最大值为24，
故答案为：24．
14．（5分）若不等式ksin2B+sinAsinC＞19sinBsinC对任意△ABC都成立，则实数
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k的最小值为 100 ．
【解答】解：∵ksin2B+sinAsinC＞19sinBsinC，由正弦定理可得：kb2+ac＞19bc， ∴k＞
，
只需k大于右侧表达式的最大值即可，显然c＞b时，表达式才能取得最大值， 又∵c﹣b＜a＜b+c， ∴﹣b﹣c＜﹣a＜b﹣c， ∴
＜19+（
）=20﹣（）2=100﹣（﹣10）2，
当=10时，20﹣（）2取得最大值20×10﹣102=100． ∴k≥100，即实数k的最小值为100． 故答案为：100
二、解答题（共6小题，满分90分）
15．（14分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，点M，N分别是AB，A1B1的中点．
（1）求证：BN∥平面A1MC；
（2）若A1M⊥AB1，求证：AB1⊥A1C．
【解答】证明：（1）因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AB∥A1B1，且AB=A1B1， 又点M，N分别是AB、A1B1的中点，所以MB=A1N，且MB∥A1N．
所以四边形A1NBM是平行四边形，从而A1M∥BN． 又BN?平面A1MC，A1M?平面A1MC，所以BN∥平面A1MC；
（2）因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥底面ABC，而AA1?侧面ABB1A1， 所以侧面ABB1A1⊥底面ABC．
又CA=CB，且M是AB的中点，所以CM⊥AB．
则由侧面ABB1A1⊥底面ABC，侧面ABB1A1∩底面ABC=AB，
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CM⊥AB，且CM?底面ABC，得CM⊥侧面ABB1A1．
又AB1?侧面ABB1A1，所以AB1⊥CM． 又AB1⊥A1M，A1M、MC平面A1MC，且A1M∩MC=M，
所以AB1⊥平面A1MC． 又A1C?平面A1MC，所以AB⊥A1C．
16．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c 已知c=（1）若C=2B，求cosB的值； （2）若
=
，求cos（B
）的值． c=
，则由正弦定理，得
．
【解答】解：（1）因为sinC=
sinB． …（2分）
sinB，即2sinBcosB=
sinB． …（4分） ． …
又C=2B，所以sin2B=
又B是△ABC的内角，所以sinB＞0，故cosB=（6分） （2）因为
=
，所以cbcosA=bacosC，则由余弦定理，
得b2+c2﹣a2=b2+a2﹣c2，得a=c． …（10分） 从而cosB=
=
，…（12分） =． ﹣sinBsin
=
． …（14
又0＜B＜π，所以sinB=从而cos（B+分）
）=cosBcos
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17．（14分）有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD（如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF是以O为圆心、∠EOF=120°的扇形，且弧BC，AD相切于点M，N．
（1）当BE长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；
（2）当BE的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？
，
分别与边
【解答】解：（1）在图甲中，连接MO交EF于点T．设OE=OF=OM=R， 在Rt△OET中，因为∠EOT=∠EOF=60°， 所以OT=，则MT=0M﹣OT=． 从而BE=MT=，即R=2BE=2．
故所得柱体的底面积S=S扇形OEF﹣S△OEF=πR2﹣R2sin120°=又所得柱体的高EG=4， 所以V=S×EG=
﹣4
．
﹣4
立方分米． ﹣
，
答：当BE长为1（分米）时，折卷成的包装盒的容积为（2）设BE=x，则R=2x，所以所得柱体的底面积 S=S扇形OEF﹣S△OEF=πR2﹣R2sin120°=（又所得柱体的高EG=6﹣2x，
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﹣
）x2，
所以V=S×EG=（﹣2
）（﹣x3+3x2），其中0＜x＜3．
令f（x）=﹣x3+3x2，0＜x＜3，
则由f′（x）=﹣3x2+6x=﹣3x（x﹣2）=0， 解得x=2． 列表如下：
x f′（x） f（x） （0，2） + 增 2 0 极大值 （2，3） ﹣ 减 所以当x=2时，f（x）取得最大值．
答：当BE的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大．
18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：
（a＞b＞0）
的下顶点为B，点M，N是椭圆上异于点B的动点，直线BM，BN分别与x轴交于点P，Q，且点Q是线段OP的中点．当点N运动到点（的坐标为（
）．
）处时，点Q
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线MN交y轴于点D，当点M，N均在y轴右侧，且线BM的方程．
=2
时，求直
【解答】解：（1）由N（方程为y=x﹣
，
），点Q的坐标为（），得直线NQ的
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