令x=0，得点B的坐标为（0，﹣所以椭圆的方程为
+
=1．
）．
将点N的坐标（，）代入，得+
=1，解得a2=4．
所以椭圆C的标准方程为+=1．
．
（2）：设直线BM的斜率为k（k＞0），则直线BM的方程为y=x﹣在y=kx﹣
中，令y=0，得xP=
，
． =2k．
而点Q是线段OP的中点，所以xQ=所以直线BN的斜率kBN=kBQ=
联立
，消去y，得（3+4k2）x2﹣8
kx=0，解得xM=．
用2k代k，得xN=又
=2
，
．
所以xN=2（xM﹣xN），得2xM=3xN， 故2×=
=3×
，又k＞0，解得k=x﹣
．
所以直线BM的方程为y=
19．（16分）设数列{an}满足aλ为常数．
=an+1an﹣1+λ（a2﹣a1）2，其中n≥2，且n∈N，
（1）若{an}是等差数列，且公差d≠0，求λ的值；
（2）若a1=1，a2=2，a3=4，且存在r∈[3，7]，使得m?an≥n﹣r对任意的n∈N*都成立，求m的最小值；
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（3）若λ≠0，且数列{an}不是常数列，如果存在正整数T，使得an+T=an对任意的n∈N*均成立．求所有满足条件的数列{an}中T的最小值． 【解答】解：（1）由题意，可得a
=（an+d）（an﹣d）+λd2，
化简得（λ﹣1）d2=0，又d≠0，所以λ=1． （2）将a1=1，a2=2，a3=4，代入条件， 可得4=1×4+λ，解得λ=0， 所以a
=an+1an﹣1，所以数列{an}是首项为1，公比q=2的等比数列，
﹣
所以an=2n1． 欲存在r∈[3，7]，
使得m?2n﹣1≥n﹣r，即r≥n﹣m?2n﹣1对任意n∈N*都成立， 则7≥n﹣m?2n﹣1，所以m≥令bn=
，则bn+1﹣bn=
﹣
对任意n∈N*都成立．
=
，
所以当n＞8时，bn+1＜bn；当n=8时，b9=b8；当n＜8时，bn+1＞bn． 所以bn的最大值为b9=b8=
，所以m的最小值为
；
（3）因为数列{an}不是常数列，所以T≥2， ①若T=2，则an+2=an恒成立，从而a3=a1，a4=a2， 所以
，
所以λ（a2﹣a1）2=0，又λ≠0，所以a2=a1，可得{an}是常数列，矛盾． 所以T=2不合题意．
②若T=3，取an=
由a22=a1a3+λ（a2﹣a1）2，得λ=7． 则条件式变为an2=an+1an﹣1+7．
（*），满足an+3=an恒成立．
由22=1×（﹣3）+7，知a3k﹣12=a3k﹣2a3k+λ（a2﹣a1）2； 由（﹣3）2=2×1+7，知a3k2=a3k﹣1a3k+1+λ（a2﹣a1）2； 由12=2×（﹣3）+7，知a3k+12=a3ka3k+2+λ（a2﹣a1）2；
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所以，数列（*）适合题意． 所以T的最小值为3．
20．（16分）设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+
（a，b，c∈R）．
（1）当c=0时，若函数f（x）与g（x）的图象在x=1处有相同的切线，求a，b的值；
（2）当b=3﹣a时，若对任意x0∈（1，+∞）和任意a∈（0，3），总存在不相等的正实数x1，x2，使得g（x1）=g（x2）=f（x0），求c的最小值；
（3）当a=1时，设函数y=f（x）与y=g（x）的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点．求证：x1x2﹣x2＜b＜x1x2﹣x1．
【解答】解：（1）由f（x）=lnx，得f（1）=0，又f′（x）=，所以f′（1）=1， 当c=0时，g（x）=ax+，所以g′（x）=a﹣所以g′（1）=a﹣b，
因为函数f（x）与g（x）的图象在x=1处有相同的切线， 所以
解得a=，b=﹣；
（2）当x0＞1时，则f（x0）＞0，又b=3﹣a，设t=f（x0）， 则题意可转化为方程ax+
﹣c=t（t＞0）在（0，+∞）上有相异两实根x1，x2．
，即
，
，
即关于x的方程ax2﹣（c+t）x+（3﹣a）=0（t＞0） 在（0，+∞）上有相异两实根x1，x2．
所以，得，
所以c＞2﹣t对t∈（0，+∞），a∈（0，3）恒成立．
≥2?
=3（当且仅当a=时取等号），
因为0＜a＜3，所以2
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又﹣t＜0，所以2故c的最小值为3．
﹣t的取值范围是（﹣∞，3），所以c≥3．
（3）当a=1时，因为函数f（x）与g（x）的图象交于A，B两点，
所以
，两式相减，得b=x1x2（1﹣
），
要证明x1x2﹣x2＜b＜x1x2﹣x1， 即证x1x2﹣x2＜x1x2（1﹣
）＜x1x2﹣x1，
即证＜＜，
即证1﹣＜ln＜﹣1
令=t，则t＞1，此时即证1﹣＜lnt＜t﹣1．
=
＞0，
令φ（t）=lnt+﹣1，所以φ′（t）=﹣所以当t＞1时，函数φ（t）单调递增．
又φ（1）=0，所以φ（t）=lnt+﹣1＞0，即1﹣＜lnt成立； 再令m（t）=lnt﹣t+1，所以m′（t）=﹣1=所以当t＞1时，函数m（t）单调递减，
又m（1）=0，所以m（t）=lnt﹣t+1＜0，即lnt＜t﹣1也成立． 综上所述，实数x1，x2满足x1x2﹣x2＜b＜x1x2﹣x1．
[选做题]（在21.22.23.24四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）[选修4-1：几何证明选讲]图
21．（10分）如图，已知AB为⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点E，AD垂直DE于点D．若DE=4，求切点E到直径AB的距离EF．
＜0，
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【解答】解：如图，连接AE，OE，
因为直线DE与⊙O相切于点E，所以DE⊥OE，
又因为AD⊥DE于D，所以AD∥OE，所以∠DAE=∠OEA，① 在⊙O中，OE=OA，所以∠OEA=∠OAE，②…（5分） 由①②得∠DAE=∠OAE，即∠DAE=∠FAE， 又∠ADE=∠AFE，AE=AE，
所以△ADE≌△AFE，所以DE=FE， 又DE=4，所以FE=4，
即E到直径AB的距离为4．…（10分）
[选修4-2：矩阵与变换] 22．（10分）已知矩阵M=程．
【解答】解：设P（x0，y0）是圆x2+y2=1上任意一点， 则
=1，
，求圆x2+y2=1在矩阵M的变换下所得的曲线方
设点P（x0，y0）在矩阵M对应的变换下所得的点为Q（x，y）， 则
=
，
即，解得，…（5分）
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