【2012黄冈市高三上学期期末考试文】某工厂生产一种产品的原材料费为每件40元，若用x表示该厂生产这种产品的总件数，则电力与机器保养等费用为每件0.05x元，又该厂职工工资固定支出12500元。 （1）把每件产品的成本费P（x）（元）表示成产品件数x的函数，并求每件产品的最低成本费； （2）如果该厂生产的这种产品的数量x不超过3000件，且产品能全部销售，根据市场调查：每件产品的销售价Q（x）与产品件数x有如下关系：Q(x)?170?0.05x，试问生产多少件产品，总利润最高？（总利润=总销售额-总的成本）
【解析】本题主要考查函数的应用问题、逻辑思维能力、推理论证能力.
P(x)?解：（Ⅰ）
12500?40?0.05xx ………………………………………3分
由基本不等式得P(x)?212500?0.05?40?90
12500?0.05xx当且仅当，即x?500时，等号成立 ……………………5分 P(x)?12500?40?0.05xx，成本的最小值为90元． ……………………6分
∴
（Ⅱ）设总利润为y元，则
y?xQ(x)?xP(x)??0.1x2?130x?12500 ??0.1(x?650)2?29750
当x?650时,
ymax?29750 ……………………………………………………11分
答：生产650件产品时，总利润最高，最高总利润为29750元．… ……12分 【2012?宁德质检理】（本小题满分13分）
x?xf(x)?2?k?2,k?R. 已知函数
（1）若函数f(x)为奇函数，求实数k的值； （2）若对任意的
x??0,????xf(x)?2都有成立，求实数k的取值范围。
【2012?深圳中学期末理】（本小题满分14分） 已知集合（I）设
D??(x1,x2)x1?0,x2?0,x1?x2?k?．其中k 为正常数．
u?x1x2，求u的取值范围．
11k2?x1)(?x2)?(?)2x22k对任意(x1,x2)?D恒成立； （II）求证：当k?1时不等式x1(11k2?x1)(?x2)?(?)2x22k对任意(x1,x2)?D恒成立的k的范围． （III）求使不等式x1(x1?x22k2kx1x2?()?x1?x2?24，当且仅当2时等号成立， 【答案】（I）
k2(0,]4．故u的取值范围为（3分）
xx111?x1)(?x2)??x1x2?1?2xx2x1x2x2x1
（II） 变形，得1(2x12?x21k2?1k2?1?x1x2???x1x2??2?u??2x1x2x1x2x1x2u. （5分）
k2k220?u?(0,]2k?14，又k?1，k?1?0，∴f(u)?u?4上是增函数， ?2在由
uk2k2?1k242k2???2??2??(?)22211k4kk2(?x1)(?x2)?u?k?1?24xx2u4所以1．
11k2?x1)(?x2)?(?)2xx22k成立． （9分）
即当k?1时不等式1(22111?kk2k2(?x1)(?x2)?u??2?f(u)(?)?f()xxu4， 2（III）令1，则2kk2k2f(u)?f()u?(0,]4对4恒成立的k的范围．即求使（10分）
11k2?x1)(?x2)?(?)2xx22k对任意(x1,x2)?D恒成立，必有0?k?1，
由（II）知，要使1(2因此1?k1?k2f(u)?u??2(0,?0，∴函数u在
1?k2]上递减，在[1?k2,??)上递增，
k2k2k2f(u)?f()(0,]?1?k24，必有44上恒有要使函数f(u)在，
42即k?16k?16?0，解得0?k?25?2．（14分）
【2012·泉州四校二次联考理】（本小题满分13分）
省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射
性污染指数
f?x?与时刻x（时）的关系为
f?x??x2?a?2a?,x??0,24?x2?13，
?1?a??0,??2?，若用每天f?x?的最大值为当天的综合放射性污其中a是与气象有关的参数，且
染指数，并记作
M?a?．
t?（1）令
xx2?1，x??0,24?，求t的取值范围；
（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？ （本小题满分13分）
【解】（1）当x?0时，t＝0； ……………………1分
当0?x?24时，
x?1?2x（当x?1时取等号），
t?∴
x1?1????0,?21x?1x??2?x，
?1?0,??即t的取值范围是?2?． ……………………4分 ?1?2a??0,?g?t??t?a?2a??2?时，记3 （2）当
2??t?3a?,0?t?a??3g?t????t?a?2,a?t?1?32 ……………………8分 ?则
?1??a,?g?t??0,a?∵在上单调递减，在?2?上单调递增， 2?1?71??1??g?0??3a?,g???a?,g?0??g???2?a??3?2?64?． ?2??且
??1?1?71g,0?a?a?,0?a??????2?4?64?M?a??????g?0?,1?a?1?3a?2,1?a?1?342. ……………………10分 ??42?故
a?∴当且仅当
49时，M?a??2.
0?a?故当
441?a?9时不超标，当92时超标． ……………………13分